Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite quando . Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função se aproxima conforme os valores de e ficam cada vez mais próximos de zero.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos mudar para **coordenadas polares**. Nas coordenadas polares, a gente representa e em termos de um raio e um ângulo : Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo com o eixo .

Passo 4

Substituindo e na nossa função original: Vamos simplificar cada parte: Sabemos que , então o denominador simplifica para .

Passo 5

Agora, a função fica:

Passo 6

Vamos analisar o que acontece quando . Como está multiplicando , e esse termo é limitado (já que e variam entre -1 e 1), o valor de vai dominar.

Passo 7

Portanto, à medida que :

Resposta

O limite é igual a **0**.

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Determine: , onde é um vetor unitário paralelo ao vetor .
Calcule: (a)
(c)
Determine: as direções em que tem taxa de variação máxima e mínima.