Calcule o limite, L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (s, t) (0,0) s^3-t^3s^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função s^3-t^3s^2+t^2 quando (s, t) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite quando (s, t) (0,0). Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função se aproxima conforme os valores de s e t ficam cada vez mais próximos de zero.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a gente representa s e t em termos de um raio r e um ângulo theta:
s = r costheta t = r sintheta
Aqui, r representa a distância até a origem (0,0) e theta é o ângulo com o eixo s.

Passo 4

Substituindo s e t na nossa função original:
s^3 - t^3s^2 + t^2 = (r costheta)^3 - (r sintheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2
Vamos simplificar cada parte:
Numerador: (r costheta)^3 - (r sintheta)^3 = r^3 (cos^3theta - sin^3theta) Denominador: (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta)
Sabemos que cos^2theta + sin^2theta = 1, então o denominador simplifica para r^2.

Passo 5

Agora, a função fica:
r^3 (cos^3theta - sin^3theta)r^2 = r (cos^3theta - sin^3theta)

Passo 6

Vamos analisar o que acontece quando r 0. Como r está multiplicando (cos^3theta - sin^3theta), e esse termo é limitado (já que cos e sin variam entre -1 e 1), o valor de r vai dominar.

Passo 7

Portanto, à medida que r 0:
r (cos^3theta - sin^3theta) 0 times (valor limitado) = 0

Resposta

O limite L é igual a 0.

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