Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite quando . Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função se aproxima conforme os valores de e ficam cada vez mais próximos de zero.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos mudar para **coordenadas polares**. Nas coordenadas polares, a gente representa e em termos de um raio e um ângulo :
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo com o eixo .
Passo 4
Substituindo e na nossa função original:
Vamos simplificar cada parte:
Sabemos que , então o denominador simplifica para .
Passo 5
Agora, a função fica:
Passo 6
Vamos analisar o que acontece quando . Como está multiplicando , e esse termo é limitado (já que e variam entre -1 e 1), o valor de vai dominar.
Passo 7
Portanto, à medida que :
Resposta
O limite é igual a **0**.
Exercícios relacionados
Determine: , onde é um vetor unitário paralelo ao vetor .
Calcule: (a)
(c)
Determine: as direções em que tem taxa de variação máxima e mínima.