Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite quando
. Isso quer dizer que queremos ver qual valor a função se aproxima conforme os valores de
e
ficam cada vez mais próximos de zero.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a gente representa
e
em termos de um raio
e um ângulo
:
Aqui,
representa a distância até a origem
e
é o ângulo com o eixo
.
Passo 4
Substituindo
e
na nossa função original:
Vamos simplificar cada parte:
Sabemos que
, então o denominador simplifica para
.
Passo 5
Agora, a função fica:
Passo 6
Vamos analisar o que acontece quando
. Como
está multiplicando
, e esse termo é limitado (já que
e
variam entre -1 e 1), o valor de
vai dominar.
Passo 7
Portanto, à medida que
:
Resposta
O limite
é igual a 0.