Desenhe as superfícies paramétricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos a superfície paramétrica definida por onde varia de 0 a 2 e de 0 a 3. Isso envolve entender o que é uma superfície paramétrica e como representá-la graficamente. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre parametrização de superfícies e como converter essas equações para um formato que possamos desenhar ou visualizar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nos dá as coordenadas em termos de e . Ou seja:
Aqui, e são parâmetros que variam dentro dos intervalos mencionados. Isso significa que, para cada par , temos um ponto no espaço tridimensional .

Passo 3

Agora, vamos entender o que essa equação representa. Se isolarmos , temos:
Essa é a equação de um plano no espaço tridimensional. Então, a superfície que estamos desenhando é um plano. Sabe o que é um plano? É uma superfície plana infinita que se estende em todas as direções, mas aqui estamos limitando aos valores de e .

Passo 4

Para desenhar essa superfície, vamos considerar os limites de e . Como vai de 0 a 2 e de 0 a 3, vamos traçar as linhas onde , , e no plano . Cada um desses limites corresponde a uma aresta do retângulo de domínio.

Passo 5

Vamos então mapear esses limites para o espaço :
  • Quando , temos e . Então, essa é uma linha no plano onde variando de 0 a 3.
  • Quando , temos e . Essa é outra linha no plano onde variando .
  • Quando , temos e . Linha no plano .
  • Quando , temos e . Linha no plano .

Passo 6

Plotando esses quatro limites no espaço tridimensional, podemos visualizar o retângulo mapeado no plano definido por . Essa será a representação gráfica da superfície paramétrica dada.

Resposta

A superfície paramétrica no intervalo e é um plano definido pela equação , representando uma região retangular mapeada nesse plano no espaço tridimensional.

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