Calcule integral0^2 f(x) d x, sendo: f(x)=|1-x|.

Passo 1

Beleza! Você quer calcular a integral . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função muda de comportamento no intervalo de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a expressão dentro do valor absoluto, , é igual a zero, porque é aí que a função muda de sinal. Resolvendo , encontramos . Isso significa que a função tem comportamentos diferentes para e .

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes com base nesse ponto crítico :
  1. De 0 a 1, onde é positivo, então .
  2. De 1 a 2, onde é negativo, então .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeira parte: de 0 a 1
integral0^1 (1 - x) , dx
Integrando:
integral (1 - x) , dx = x - x^22
Avaliando de 0 a 1:
[1 - 12] - [0 - 0] = 12
Segunda parte: de 1 a 2
integral1^2 (x - 1) , dx
Integrando:
integral (x - 1) , dx = x^22 - x
Avaliando de 1 a 2:
[42 - 2] - [12 - 1] = (2 - 2) - (12 - 1) = 0 - (-12) = 12

Resposta

Somando as duas partes:
12 + 12 = 1
Então, .

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