Seja A = {(x, y) ∈ R² | x² <= y <= raiz(x)}
(a) 1,0 Calcule a área de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área do conjunto . Isso envolve entender as funções que definem os limites desse conjunto e usar cálculo para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas curvas e se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração.
Vamos igualar as duas funções:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Isso nos dá as soluções:
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , podemos configurar a integral para encontrar a área entre elas.
A área será dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de a :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Para :
Para :
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

A área do conjunto é unidades quadradas.

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