Calcule e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais duplas:
O conteúdo que estamos trabalhando aqui é integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais. Para resolver, precisamos saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: .
Aqui, a ordem de integração é primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos seguir esses passos:
  1. Integrar em relação a , mantendo constante.
  2. Integrar o resultado em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Como é constante em relação a , podemos tratar como um coeficiente:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Podemos tirar a constante para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Nesse caso, a ordem de integração é primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos seguir os mesmos passos:
  1. Integrar em relação a , mantendo constante.
  2. Integrar o resultado em relação a .

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a :
Aqui, é constante em relação a , então podemos tratar como um coeficiente:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Podemos tirar a constante 9 para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Ambas as integrais e resultam em 13,5.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar e depois .
Determine os pontos críticos da função e classifique-os.
Calcule o volume delimitado por e . Esboce o sólido.
O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de enquanto que a altura decresce a uma taxa de . Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?