Calcule
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais duplas:
O conteúdo que estamos trabalhando aqui é integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais. Para resolver, precisamos saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
.
Aqui, a ordem de integração é primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos seguir esses passos:
- Integrar
em relação a , mantendo constante. - Integrar o resultado em relação a
.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tratar
como um coeficiente:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
.
Nesse caso, a ordem de integração é primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos seguir os mesmos passos:
- Integrar
em relação a , mantendo constante. - Integrar o resultado em relação a
.
Passo 6
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tratar
como um coeficiente:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
:
Podemos tirar a constante 9 para fora da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
Ambas as integrais
e
resultam em 13,5.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.
Determine os pontos críticos da função
e classifique-os.
Calcule o volume delimitado por
e
. Esboce o sólido.
O raio de um cilindro aumenta a uma taxa de
enquanto que a altura decresce a uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cilindro quando seu raio é de 2 m e sua altura 1 m ?