Calcule integral0^3 integral1^2 x^2 y d y d x e integral1^2 integral0^3 x^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas integrais duplas:
O conteúdo que estamos trabalhando aqui é integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais. Para resolver, precisamos saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: .
Aqui, a ordem de integração é primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos seguir esses passos:
  1. Integrar em relação a , mantendo constante.
  2. Integrar o resultado em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos integrar integral1^2 x^2 y , dy em relação a x^2 integral1^2 y , dy :
integral y , dy = y^22
Como x^2 [ y^22 ]1^2 = x^2 ( 2^22 - 1^22 ) = x^2 ( 42 - 12 ) = x^2 ( 2 - 0,5 ) = x^2 times 1,5 = 32 x^2 é constante em relação a , podemos tratar como um coeficiente:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^3 32 x^2 , dx em relação a 32 integral0^3 x^2 , dx :
integral x^2 , dx = x^33
Podemos tirar a constante 32 [ x^33 ]0^3 = 32 ( 3^33 - 0^33 ) = 32 ( 273 - 0 ) = 32 times 9 = 272 = 13,5 para fora da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Nesse caso, a ordem de integração é primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos seguir os mesmos passos:
  1. Integrar em relação a , mantendo constante.
  2. Integrar o resultado em relação a .

Passo 6

Primeiro, vamos integrar integral0^3 x^2 y , dx em relação a y integral0^3 x^2 , dx :
integral x^2 , dx = x^33
Aqui, y [ x^33 ]0^3 = y ( 3^33 - 0^33 ) = y ( 273 - 0 ) = y times 9 = 9y é constante em relação a , então podemos tratar como um coeficiente:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado integral1^2 9y , dy em relação a 9 integral1^2 y , dy :
integral y , dy = y^22
Podemos tirar a constante 9 para fora da integral:
9 [ y^22 ]1^2 = 9 ( 2^22 - 1^22 ) = 9 ( 42 - 12 ) = 9 ( 2 - 0,5 ) = 9 times 1,5 = 13,5
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Ambas as integrais e resultam em 13,5.

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