Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar e depois .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a derivada primeira e a derivada segunda usando derivada implícita. A equação que temos é , que descreve um círculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer derivada implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com e a gente quer descobrir como muda em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira usando derivada implícita. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Derivando termo a termo:
Aqui, derivamos e obtemos , e para , usamos a regra da cadeia, por isso temos . O lado direito, a derivada de uma constante , é .
Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada segunda . Para isso, vamos derivar a expressão que encontramos para :
Usando a regra do quociente, onde se tiver , a derivada é . No nosso caso, e :
Primeiro, derivamos e :
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Mas lembrando que , substituímos:

Resposta

A derivada primeira é e a derivada segunda é .

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