Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a derivada primeira
e a derivada segunda
usando derivada implícita. A equação que temos é
, que descreve um círculo. Para resolver isso, vamos precisar saber como fazer derivada implícita, que é uma técnica usada quando
está misturado com
e a gente quer descobrir como
muda em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira
usando derivada implícita. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Derivando termo a termo:
Aqui, derivamos
e obtemos
, e para
, usamos a regra da cadeia, por isso temos
. O lado direito, a derivada de uma constante
, é
.
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada segunda
. Para isso, vamos derivar a expressão que encontramos para
:
Usando a regra do quociente, onde se tiver
, a derivada é
. No nosso caso,
e
:
Primeiro, derivamos
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Mas lembrando que
, substituímos:
Resposta
A derivada primeira é
e a derivada segunda é
.