Determine os pontos críticos da função
e classifique-os.
Passo 1
Então, a gente tem uma função de duas variáveis,
. Queremos encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
Mas isso pode ficar complicado, então uma boa estratégia é tentar isolar uma variável. Vamos tentar expressar
em termos de
ou vice-versa.
Da segunda equação:
Podemos tentar isolar
ou
. Vamos tentar expressar
em termos de
a partir da primeira equação.
Multiplicando os dois lados por 1 para facilitar:
Isso ainda está complexo, então uma alternativa é resolver o sistema de forma mais direta. Podemos reescrever as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, podemos tentar substituir
em alguma das equações.
Mas uma forma mais simples é observar que podemos fatorar. Vamos rearranjar as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Ainda assim, pode ser complicado. Vamos assumir que
e
e resolver o sistema numericamente ou usando substituição.
Vamos resolver a primeira equação para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos substituir isso na segunda equação para encontrar o valor de
.
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Agora, encontramos dois valores para
. Vamos encontrar os correspondentes
:
Para
:
Ponto:
Para
:
Ponto:
Passo 6
Agora que temos os pontos críticos
e
, vamos classificá-los usando a matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
O determinante da Hessiana é:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 7
Para o ponto
:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando o determinante:
Como
e
, o ponto
é um máximo local.
Para o ponto
:
Calculando as segundas derivadas:
Calculando o determinante:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
, que é um máximo local. -
, que é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Obtenha uma aproximação linear para a função
no ponto
e compare o valor de
no ponto
com o valor da aproximação nesse ponto.
Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.
Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar
e depois
.
Calcule
e