Determine os pontos críticos da função e classifique-os.

Passo 1

Então, a gente tem uma função de duas variáveis, . Queremos encontrar os pontos críticos dessa função e descobrir se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
Mas isso pode ficar complicado, então uma boa estratégia é tentar isolar uma variável. Vamos tentar expressar em termos de ou vice-versa.
Da segunda equação:
Podemos tentar isolar ou . Vamos tentar expressar em termos de a partir da primeira equação.
Multiplicando os dois lados por 1 para facilitar:
Isso ainda está complexo, então uma alternativa é resolver o sistema de forma mais direta. Podemos reescrever as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, podemos tentar substituir em alguma das equações.
Mas uma forma mais simples é observar que podemos fatorar. Vamos rearranjar as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Ainda assim, pode ser complicado. Vamos assumir que e e resolver o sistema numericamente ou usando substituição.
Vamos resolver a primeira equação para :
Simplificando:

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos substituir isso na segunda equação para encontrar o valor de .
Substituindo na segunda equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Agora, encontramos dois valores para . Vamos encontrar os correspondentes :
Para :
Ponto:
Para :
Ponto:

Passo 6

Agora que temos os pontos críticos e , vamos classificá-los usando a matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante da Hessiana é:
Vamos calcular para cada ponto crítico.

Passo 7

Para o ponto :
Calculando as segundas derivadas:
Calculando o determinante:
Como e , o ponto é um máximo local.
Para o ponto :
Calculando as segundas derivadas:
Calculando o determinante:
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • , que é um máximo local.
  • , que é um ponto de sela.

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Nos exercícios 37-42, use a derivada implicita para determinar e depois .
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Calcule e