Calcule o volume delimitado por y^2 + z^2 = 1 e x^2 + z^2 = 1. Esboce o sólido.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações: e . Essas equações representam cilindros no espaço. Nosso objetivo é calcular o volume que fica onde esses dois cilindros se sobrepõem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras geométricas envolvidas. A equação representa um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo X. Já a equação também é um cilindro circular reto com raio 1, mas alinhado ao eixo Y. Quando esses dois cilindros se intersectam, formam um sólido conhecido como “Solide de Steinmetz”.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos utilizar a simetria das equações. Observamos que o sólido é simétrico em relação aos três eixos coordenados, então podemos calcular o volume em uma região e depois multiplicar pelo número de regiões equivalentes.

Passo 4

Vamos calcular o volume no primeiro octante (onde , e são positivos) e depois multiplicar por 4 para obter o volume total. No primeiro octante, as equações dos cilindros são:
Aqui, e variam de 0 a , e varia de 0 a 1.

Passo 5

O volume no primeiro octante pode ser calculado pela integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Então, o volume no primeiro octante é .

Passo 7

Como o sólido é simétrico em todos os quatro octantes considerados (positivos e negativos), multiplicamos o volume do primeiro octante por 4 para obter o volume total:

Resposta

O volume delimitado pelos cilindros e é unidades cúbicas.

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