Calcule o volume delimitado por
e
. Esboce o sólido.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas equações:
e
. Essas equações representam cilindros no espaço. Nosso objetivo é calcular o volume que fica onde esses dois cilindros se sobrepõem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras geométricas envolvidas. A equação
representa um cilindro circular reto com raio 1, alinhado ao eixo X. Já a equação
também é um cilindro circular reto com raio 1, mas alinhado ao eixo Y. Quando esses dois cilindros se intersectam, formam um sólido conhecido como “Solide de Steinmetz”.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos utilizar a simetria das equações. Observamos que o sólido é simétrico em relação aos três eixos coordenados, então podemos calcular o volume em uma região e depois multiplicar pelo número de regiões equivalentes.
Passo 4
Vamos calcular o volume no primeiro octante (onde
,
e
são positivos) e depois multiplicar por 4 para obter o volume total. No primeiro octante, as equações dos cilindros são:
Aqui,
e
variam de 0 a
, e
varia de 0 a 1.
Passo 5
O volume no primeiro octante pode ser calculado pela integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Então, o volume no primeiro octante é
.
Passo 7
Como o sólido é simétrico em todos os quatro octantes considerados (positivos e negativos), multiplicamos o volume do primeiro octante por 4 para obter o volume total:
Resposta
O volume delimitado pelos cilindros
e
é
unidades cúbicas.