Calcule integral0^1 integralx^2^x raizy / x d y d x. (1/7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . Isso envolve conhecimentos de integração dupla, onde vamos integrar uma função sobre uma região definida no plano . Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna: . Vamos simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 3

Observamos que integralx^2^x raizyraizx , dy pode ser reescrito como . Então, a integral fica:

Passo 4

Como 1raizx integralx^2^x raizy , dy é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar 1raizx [ 23 y^3/2 ]x^2^x em relação a . A antiderivada de é . Então:

Passo 6

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
1raizx ( 23 x^3/2 - 23 (x^2)^3/2 )
Simplificando (x^2)^3/2 = x^3 :
1raizx ( 23 x^3/2 - 23 x^3 )
Então, a expressão fica:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
23 x^3/2 div raizx = 23 x^3/2 - 1/2 = 23 x^1 = 23 x
23 x^3 div raizx = 23 x^3 - 1/2 = 23 x^5/2
Então, a integral interna simplifica para:
23 x - 23 x^5/2

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( 23 x - 23 x^5/2 ) dx de 0 a 1:

Passo 9

Podemos separar essa integral em duas partes:
23 integral0^1 x , dx - 23 integral0^1 x^5/2 , dx

Passo 10

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão original:
23 ( 12 ) - 23 ( 27 ) = 13 - 421

Passo 12

Vamos encontrar o valor comum para subtrair as frações:
13 = 721, 421 = 421
Então:
721 - 421 = 321 = 17

Resposta

O valor da integral dupla é .

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