Calcule . (1/7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a integral dupla . Isso envolve conhecimentos de integração dupla, onde vamos integrar uma função sobre uma região definida no plano . Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna: . Vamos simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 3

Observamos que pode ser reescrito como . Então, a integral fica:

Passo 4

Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A antiderivada de é . Então:

Passo 6

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
Simplificando :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Então, a integral interna simplifica para:

Passo 8

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:

Passo 9

Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 10

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 12

Vamos encontrar o valor comum para subtrair as frações:
Então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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