Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano e abaixo pelo retângulo .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume usando integração dupla. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado acima por um plano, dado pela equação , e abaixo por um retângulo no plano definido por e . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração dupla, que nos permite calcular volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integração dupla. Basicamente, é uma forma de somar infinitos pequenos pedaços de área (ou volume) sobre uma região no plano. No nosso caso, a região está definida pelo retângulo e .
Passo 3
Para calcular o volume, precisamos integrar a função que representa a altura do sólido sobre a área do retângulo. A função que nos dá a altura é . Então, o volume será a integral dupla dessa função sobre a região :
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Mantemos constante e integramos de a :
Calculando isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a de a :