Determine o volume do sólido que é limitado acima pelo plano z = 2x + 5y + 1 e abaixo pelo retângulo {(x, y) | -1 <= x <=} 0,1 <= y <= 4.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de volume usando integração dupla. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado acima por um plano, dado pela equação , e abaixo por um retângulo no plano definido por e . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração dupla, que nos permite calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integração dupla. Basicamente, é uma forma de somar infinitos pequenos pedaços de área (ou volume) sobre uma região no plano. No nosso caso, a região está definida pelo retângulo e .

Passo 3

Para calcular o volume, precisamos integrar a função que representa a altura do sólido sobre a área do retângulo. A função que nos dá a altura é . Então, o volume será a integral dupla dessa função sobre a região :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Mantemos constante e integramos de a :
Calculando isso:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a de a :
Calculando isso:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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