Calcule

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla:
Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos precisar das regras básicas de integração e entender como trabalhar com limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Vamos substituir os limites na expressão:
Simplificando os quadrados:

Passo 5

Agora, simplificamos mais ainda:
Então, a integral interna ficou:

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a de 0 a :

Passo 7

Integrando cada termo separado:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Simplificando as frações:

Passo 9

Para subtrair essas frações, trazemos para o mesmo denominador, que é 120:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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