Calcule
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla:
Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos precisar das regras básicas de integração e entender como trabalhar com limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirar fora da integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Vamos substituir os limites na expressão:
Simplificando os quadrados:
Passo 5
Agora, simplificamos mais ainda:
Então, a integral interna ficou:
Passo 6
Agora, vamos integrar isso em relação a
de 0 a
:
Passo 7
Integrando cada termo separado:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Simplificando as frações:
Passo 9
Para subtrair essas frações, trazemos para o mesmo denominador, que é 120:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
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