Calcule integral0^1 / 2 integraly raiz3^raiz1-y^2 x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla:
integral0^12 integraly raiz3^raiz1 - y^2 x y^2 , dx , dy
Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos precisar das regras básicas de integração e entender como trabalhar com limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a integraly raiz3^raiz1 - y^2 x y^2 , dx :
y^2 integraly raiz3^raiz1 - y^2 x , dx
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 + C em relação a y^2 [ x^22 ]y raiz3^raiz1 - y^2 . A integral de é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 4

Vamos substituir os limites na expressão:
y^2 ( (raiz1 - y^2)^22 - (y raiz3)^22 )
Simplificando os quadrados:
y^2 ( 1 - y^22 - 3 y^22 ) = y^2 ( 1 - y^2 - 3 y^22 ) = y^2 ( 1 - 4 y^22 )

Passo 5

Agora, simplificamos mais ainda:
y^2 cdot 1 - 4 y^22 = y^2 (1 - 4 y^2)2 = y^2 - 4 y^42
Então, a integral interna ficou:
y^2 - 4 y^42

Passo 6

Agora, vamos integrar isso em relação a integral0^12 y^2 - 4 y^42 , dy = 12 integral0^12 (y^2 - 4 y^4) , dy de 0 a :

Passo 7

Integrando cada termo separado:
12 ( integral0^12 y^2 , dy - 4 integral0^12 y^4 , dy )
Sabemos que:
integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
12 ( [ y^33 ]0^12 - 4 [ y^55 ]0^12 )

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
12 ( (12)^33 - 4 cdot (12)^55 ) = 12 ( 183 - 4 cdot 1325 )
Simplificando as frações:
12 ( 124 - 4160 ) = 12 ( 124 - 140 )

Passo 9

Para subtrair essas frações, trazemos para o mesmo denominador, que é 120:
124 = 5120, 140 = 3120
Então:
12 ( 5120 - 3120 ) = 12 cdot 2120 = 12 cdot 160 = 1120

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados