Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
usando a definição de derivada. Estamos lidando com cálculo, especificamente o conceito de derivada, e vamos precisar entender a definição básica de derivada e saber como manipular expressões algébricas para chegar ao limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite, quando
tende a zero, da razão entre a diferença de
e
e
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, encontramos
:
E já sabemos que
.
Passo 4
Substituindo
e
na definição da derivada, temos:
Passo 5
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador. O denominador comum será
. Assim, reescrevemos a diferença:
Passo 6
Agora, nossa expressão para a derivada fica:
Passo 7
Para facilitar o cálculo do limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Passo 8
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Podemos cancelar o
do numerador e do denominador:
Passo 10
Agora, substituímos
por 0 no limite:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
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.
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
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