Nos exercícios a seguir, determine utilizando a definição de derivada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de usando a definição de derivada. Estamos lidando com cálculo, especificamente o conceito de derivada, e vamos precisar entender a definição básica de derivada e saber como manipular expressões algébricas para chegar ao limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite, quando tende a zero, da razão entre a diferença de e e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, encontramos :
E já sabemos que .

Passo 4

Substituindo e na definição da derivada, temos:

Passo 5

Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador. O denominador comum será . Assim, reescrevemos a diferença:

Passo 6

Agora, nossa expressão para a derivada fica:

Passo 7

Para facilitar o cálculo do limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 8

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 9

Podemos cancelar o do numerador e do denominador:

Passo 10

Agora, substituímos por 0 no limite:

Resposta

A derivada de é:

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