Use coordenadas polares para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera de raio
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar coordenadas polares para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio
. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especialmente integração em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem (neste caso, o centro da esfera), -
: o ângulo polar, que mede a inclinação a partir do eixo z, -
: o ângulo azimutal, que mede a rotação no plano xy.
Passo 3
Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o volume é:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Isso nos dá o volume em termos de
e
.
Passo 5
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das três integrais, obtemos o volume da esfera:
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado:
Calcule
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado: