Use coordenadas polares para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera de raio r.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar coordenadas polares para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r. Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especialmente integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
  • rho: a distância do ponto até a origem (neste caso, o centro da esfera),
  • theta: o ângulo polar, que mede a inclinação a partir do eixo z,
  • phi: o ângulo azimutal, que mede a rotação no plano xy.

Passo 3

Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos integrar em relação a rho primeiro:
Isso nos dá o volume em termos de theta e phi.

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a theta:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a phi:

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais, obtemos o volume da esfera:

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