Use coordenadas polares para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera de raio .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos usar coordenadas polares para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio . Isso envolve conhecimentos de geometria espacial e cálculo, especialmente integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem (neste caso, o centro da esfera),
  • : o ângulo polar, que mede a inclinação a partir do eixo z,
  • : o ângulo azimutal, que mede a rotação no plano xy.

Passo 3

Para calcular o volume da esfera, usamos a fórmula da integral tripla em coordenadas esféricas. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro:
Isso nos dá o volume em termos de e .

Passo 5

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais, obtemos o volume da esfera:

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, determine utilizando a definição de derivada:
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função no ponto indicado:
Calcule
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função no ponto indicado: