Calcule:
o) integral0^pi / 4 1+cos ^2 xcos ^2 x d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de 0 até π/4 de 1 + cos^2 xcos^2 x , dx. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integrando funções trigonométricas e simplificando expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando 1 + cos^2 xcos^2 x. Isso pode ser separado em duas frações:
1cos^2 x + cos^2 xcos^2 x
Simplificando, temos:
sec^2 x + 1

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^pi/4 ( sec^2 x + 1 ) , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral0^pi/4 sec^2 x , dx + integral0^pi/4 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral individualmente.
  1. Integral de sec^2 x:
    Sabemos que a integral de sec^2 x é tan x:
    integral sec^2 x , dx = tan x + C
  2. Integral de 1:
    A integral de 1 em relação a x é simplesmente x:
    integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração para cada parte:
  1. Para tan x de 0 a π/4:
    tan(pi4) - tan(0) = 1 - 0 = 1
  2. Para x de 0 a π/4:
    pi4 - 0 = pi4

Resposta

Somando os resultados das duas integrais, temos:
1 + pi4

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