Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
integral0^infty sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa descobrir o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral integral0^infty sin x , dx = limb to infty integral0^b sin x , dx é uma integral imprópria, porque o limite superior é infinito. Para avaliar essa integral, a gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da integral definida de até :

Passo 3

Vamos calcular a integral definida integral0^b sin x , dx = [ -cos x ]0^b = -cos b + cos 0 . Sabemos que a antiderivada de -cos b + 1 = 1 - cos b é . Então:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando limb to infty (1 - cos b) tende ao infinito:
Observa que oscila entre e para todo valor de . Isso significa que não se aproxima de nenhum número específico conforme aumenta sem limite. Portanto, o limite de também não existe, pois continua oscilando entre e .

Passo 5

Como o limite não existe, podemos concluir que a integral não converge. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral diverge.

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