Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa descobrir o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrais impróprias e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral
é uma integral imprópria, porque o limite superior é infinito. Para avaliar essa integral, a gente precisa calcular o limite quando
tende ao infinito da integral definida de
até
:
Passo 3
Vamos calcular a integral definida
. Sabemos que a antiderivada de
é
. Então:
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Observa que
oscila entre
e
para todo valor de
. Isso significa que
não se aproxima de nenhum número específico conforme
aumenta sem limite. Portanto, o limite de
também não existe, pois continua oscilando entre
e
.
Passo 5
Como o limite não existe, podemos concluir que a integral
não converge. Ou seja, ela diverge.
Resposta
A integral
diverge.
Exercícios relacionados
Usando a definição mostre que:
.
Calcule:
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral: