Calcule integral0^2 pi cos ^2(x) d x. Dê o resultado com duas casas decimais. Dica: integrando por partes e usando que sen^2(x)+cos ^2(x)=1, você consegue obter a integral original do lado direito, mas com coeficiente -1 .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é calcular a integral de cos^2(x) no intervalo de 0 a 2pi. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e aplicar a identidade trigonométrica sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da diferenciação e é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher partes da nossa integral para aplicar essa fórmula. No nosso caso, podemos deixar u = cos(x) e dv = cos(x) , dx. Assim, precisamos calcular du e v.

Passo 3

Calculando du e v:
u = cos(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = integral cos(x) , dx = sin(x)
Agora, substituímos na fórmula de integração por partes:
integral cos^2(x) , dx = cos(x) cdot sin(x) - integral sin(x) cdot (-sin(x)) , dx
Simplificando:
integral cos^2(x) , dx = cos(x)sin(x) + integral sin^2(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos lidar com a integral de sin^2(x). Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que foi mencionada:
sin^2(x) + cos^2(x) = 1 Rightarrow sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
Substituindo na integral:
integral cos^2(x) , dx = cos(x)sin(x) + integral (1 - cos^2(x)) , dx
Onde chega a gente na:
integral cos^2(x) , dx = cos(x)sin(x) + integral 1 , dx - integral cos^2(x) , dx

Passo 5

Agora, notamos que temos a mesma integral integral cos^2(x) , dx dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de I:
I = cos(x)sin(x) + integral 1 , dx - I
Somando I dos dois lados:
2I = cos(x)sin(x) + integral 1 , dx
A integral de 1 , dx é só x, então:
2I = cos(x)sin(x) + x + C
Dividindo ambos os lados por 2:
I = 12 cos(x)sin(x) + x2 + C

Passo 6

Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de 0 a 2pi:
integral0^2pi cos^2(x) , dx = [ 12 cos(x)sin(x) + x2 ]0^2pi
Calculando nos limites:
Para x = 2pi:
12 cos(2pi)sin(2pi) + 2pi2 = 12(1)(0) + pi = pi
Para x = 0:
12 cos(0)sin(0) + 02 = 12(1)(0) + 0 = 0
Subtraindo:
pi - 0 = pi

Resposta

A integral integral0^2 pi cos^2(x) , dx é igual a 3,14.

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