Calcule
. Dê o resultado com duas casas decimais. Dica: integrando por partes e usando que
, você consegue obter a integral original do lado direito, mas com coeficiente -1 .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é calcular a integral de
no intervalo de
a
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e aplicar a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da diferenciação e é útil quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher partes da nossa integral para aplicar essa fórmula. No nosso caso, podemos deixar
e
. Assim, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
e
:
Agora, substituímos na fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos lidar com a integral de
. Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica que foi mencionada:
Substituindo na integral:
Onde chega a gente na:
Passo 5
Agora, notamos que temos a mesma integral
dos dois lados da equação. Vamos chamar essa integral de
:
Somando
dos dois lados:
A integral de
é só
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de
a
:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral
é igual a
.