Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício da função
. A gente precisa encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
para identificar os pontos críticos. A derivada vai nos ajudar a entender onde a função cresce ou decresce.
A função é:
Podemos reescrever
como
:
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é zero ou não existe.
- Derivada igual a zero:
- Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a derivada
.
Analisamos o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Identificamos os pontos de máximo e mínimo observando onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
- Em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local. - Em
, não há mudança de sinal válida dentro do domínio , então não consideramos como máximo ou mínimo.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade da função, ou seja, se está “para cima” ou “para baixo”. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Começamos com
. Derivamos novamente:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 7
Determinar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para definir a concavidade:
Como
:
- Concavidade para cima quando
:
Como
, isso sempre é verdade. Portanto, a função é sempre concava para cima.
- Não há intervalos de concavidade para baixo.
Passo 8
Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão na função
.
Passo 9
Vamos verificar as assíntotas:
- Assíntota vertical: ocorre se a função tende a infinito em algum ponto do domínio. No nosso caso, quando
:
Não há assíntota vertical.
- Assíntota horizontal: verifica o limite quando
:
Não há assíntota horizontal.
Passo 10
Finalmente, vamos resumir todas as informações e construir o gráfico da função
:
- Pontos críticos:
e . - Intervalos de crescimento:
. - Intervalos de decrescimento:
. - Mínimo local: em
. - Concavidade: sempre para cima.
- Pontos de inflexão: nenhum.
- Assíntotas: nenhuma.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Crescimento:
; Decrescimento:
.
c) Mínimo local em
.
d) Concavidade para cima em todo o domínio
; nenhuma concavidade para baixo.
e) Nenhum ponto de inflexão.
f) Nenhuma assíntota.
g) O gráfico possui um mínimo em
, é decrescente de
a
e crescente a partir de
, com concavidade sempre para cima.
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.
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.