Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício da função . A gente precisa encontrar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, construir o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos críticos. A derivada vai nos ajudar a entender onde a função cresce ou decresce.
A função é:
Podemos reescrever como :
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar:
Calculando as derivadas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são onde a derivada é zero ou não existe.
  1. Derivada igual a zero:
  1. Derivada não existe:
    A derivada não existe quando o denominador é zero:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo usando a derivada .
Analisamos o sinal da derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos e :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Identificamos os pontos de máximo e mínimo observando onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
  • Em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
  • Em , não há mudança de sinal válida dentro do domínio , então não consideramos como máximo ou mínimo.

Passo 6

Vamos analisar a concavidade da função, ou seja, se está “para cima” ou “para baixo”. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Começamos com . Derivamos novamente:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 7

Determinar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para definir a concavidade:
Como :
  1. Concavidade para cima quando :
Como , isso sempre é verdade. Portanto, a função é sempre concava para cima.
  1. Não há intervalos de concavidade para baixo.

Passo 8

Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão na função .

Passo 9

Vamos verificar as assíntotas:
  1. Assíntota vertical: ocorre se a função tende a infinito em algum ponto do domínio. No nosso caso, quando :
Não há assíntota vertical.
  1. Assíntota horizontal: verifica o limite quando :
Não há assíntota horizontal.

Passo 10

Finalmente, vamos resumir todas as informações e construir o gráfico da função :
  • Pontos críticos: e .
  • Intervalos de crescimento: .
  • Intervalos de decrescimento: .
  • Mínimo local: em .
  • Concavidade: sempre para cima.
  • Pontos de inflexão: nenhum.
  • Assíntotas: nenhuma.

Resposta

a) Pontos críticos: e .
b) Crescimento: ; Decrescimento: .
c) Mínimo local em .
d) Concavidade para cima em todo o domínio ; nenhuma concavidade para baixo.
e) Nenhum ponto de inflexão.
f) Nenhuma assíntota.
g) O gráfico possui um mínimo em , é decrescente de a e crescente a partir de , com concavidade sempre para cima.

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