Calcule integral1^e 9 x^2 ln (x) d x. Dê o resultado com duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão ser u = ln(x) e dv = 9x^2 dx e du = 1x dx e v = integral 9x^2 dx = 3x^3 . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e . Derivando e integrando , temos:

Passo 3

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral 9x^2 ln(x) , dx = ln(x) cdot 3x^3 - integral 3x^3 cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
= 3x^3 ln(x) - 3 integral x^2 dx

Passo 4

Agora, vamos integrar integral x^2 dx = x^33 :
= 3x^3 ln(x) - 3 cdot x^33 = 3x^3 ln(x) - x^3
Substituindo de volta:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar essa expressão de [3x^3 ln(x) - x^3]1^e a 3e^3 ln(e) - e^3 = 3e^3 cdot 1 - e^3 = 2e^3 :
3(1)^3 ln(1) - (1)^3 = 0 - 1 = -1
Substituindo 2e^3 - (-1) = 2e^3 + 1 :
E substituindo :
Então, a integral fica:

Resposta

Calculando numericamente:
2e^3 + 1 approx 2 times 20.0855 + 1 = 40.171 + 1 = 41.17
Portanto, o resultado da integral é aproximadamente 41,17.

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