Calcule integral0^pi / 2 cos ^3 x sen^2 x d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos calcular a integral definida de $ \cos^{3} x \cdot \sin^{2} x $ de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e propriedades de potências dessas funções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a integral:
integral0^pi2 cos^3 x cdot sin^2 x , dx
Observamos que temos uma potência ímpar de $ \cos x $, o que sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição $ u = \sin x $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = sin x
Isso nos ajuda a substituir partes da integral em termos de $ u $.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de $ u $. Primeiro, notamos que $ \cos^{3} x = \cos^{2} x \cdot \cos x $. Sabemos que:
u
Substituindo na integral:
cos^3 x = cos^2 x cdot cos x

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
(1 - u^2) cdot u^2 = u^2 - u^4
Então, a integral fica:
integral0^1 (u^2 - u^4) , du
Note que os limites de integração mudaram para $ u(0) = \sin(0) = 0 $ e $ u\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Então, a integral se torna:
[ u^33 - u^55 ]0^1

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para $ u = 1 $:
u = 1
Para $ u = 0 $:
1^33 - 1^55 = 13 - 15 = 5 - 315 = 215

Resposta

Portanto, o valor da integral é $ \boxed{\dfrac{2}{15}} $.

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