Calcule
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos calcular a integral definida de $ \cos^{3} x \cdot \sin^{2} x $ de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e propriedades de potências dessas funções.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a integral:
Observamos que temos uma potência ímpar de $ \cos x $, o que sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição $ u = \sin x $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Isso nos ajuda a substituir partes da integral em termos de $ u $.
Passo 4
Reescrevemos a integral em termos de $ u $. Primeiro, notamos que $ \cos^{3} x = \cos^{2} x \cdot \cos x $. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Note que os limites de integração mudaram para $ u(0) = \sin(0) = 0 $ e $ u\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para $ u = 1 $:
Para $ u = 0 $:
Resposta
Portanto, o valor da integral é $ \boxed{\dfrac{2}{15}} $.