Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se a sequência $ a_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1} $ converge ou diverge. Se convergir, a gente precisa encontrar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas regras de álgebra básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se, conforme $ n $ fica cada vez maior (tende ao infinito), os valores de $ a_{n} $ se aproximam de um número específico, que chamamos de limite. Se não se aproximar de nenhum número, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão $ a_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1} $. Nosso objetivo é ver o que acontece com $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador pelo maior termo presente no denominador, que no caso é $ n $.
Passo 4
Dividindo numerador e denominador por $ n $:
Passo 5
Agora, observamos cada parte da fração separadamente. À medida que $ n $ tende ao infinito:
- $ n $ no numerador tende ao infinito.
- $ \frac{1}{n} $ no denominador tende a zero, já que quanto maior $ n $, menor é $ \frac{1}{n} $.
Então, a expressão simplifica para:
Passo 6
Vemos que, conforme $ n $ aumenta, $ a_{n} $ também aumenta sem parar. Isso significa que não há um número específico que $ a_{n} $ se aproxima; ao contrário, ele cresce indefinidamente.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{n^{2}}{n + 1} $ diverge, ou seja, não converge para nenhum limite finito.