Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma da série.
sumn=1^infty (-1)^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^nn converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas, que é o conteúdo central aqui. Precisaremos analisar se os termos da série estão diminuindo e tendendo a zero, além de verificar outras condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a série dada é uma série alternada porque os termos (-1)^nn mudam de sinal a cada termo devido ao (-1)^n. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série dos valores absolutos diverja, então vamos verificar as condições para a convergência de séries alternadas.

Passo 3

Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série sumn=1^infty (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an está diminuindo: an+1 <= an para todo n.
  3. Os termos tendem a zero: limn to infty an = 0.
Vamos verificar essas condições para nossa série.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos an na nossa série:
an = 1n
  1. Positividade: an = 1n é sempre positivo para n >= 1.
  2. Termos diminuindo: Quando n aumenta, an = 1n diminui, pois $ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $.
  3. Limite dos termos: Calculamos o limite de 1n+1 < 1n quando an tende ao infinito:
n
Todas as três condições são satisfeitas.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^nn converge.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que a série sumn=1^infty (-1)^nn é conhecida como a série alternada harmônica. Sua soma é:
sumn=1^infty (-1)^nn = -ln(2)
Portanto, a soma da série é -ln(2).

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn converge, e sua soma é -ln(2).

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