Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também encontrar a soma dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries alternadas, que é o conteúdo central aqui. Precisaremos analisar se os termos da série estão diminuindo e tendendo a zero, além de verificar outras condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a série dada é uma série alternada porque os termos
mudam de sinal a cada termo devido ao
. Séries alternadas podem convergir mesmo que a série dos valores absolutos diverja, então vamos verificar as condições para a convergência de séries alternadas.
Passo 3
Para verificar a convergência de uma série alternada, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série
converge se:
- Os termos
são positivos. -
está diminuindo: para todo . - Os termos tendem a zero:
.
Vamos verificar essas condições para nossa série.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos
na nossa série:
- Positividade:
é sempre positivo para . - Termos diminuindo: Quando
aumenta, diminui, pois $ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} $. - Limite dos termos: Calculamos o limite de
quando tende ao infinito:
Todas as três condições são satisfeitas.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a soma da série. Sabemos que a série
é conhecida como a série alternada harmônica. Sua soma é:
Portanto, a soma da série é
.
Resposta
A série
converge, e sua soma é
.