Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
integral-infty^infty 1x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral imprópria integral-infty^infty 1x^2+1 dx converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e funções que conhecemos bem, como a função 1x^2+1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, os limites são -infty e infty, então a integral é imprópria por ter limites infinitos.

Passo 3

Agora, para verificar se a integral converge ou diverge, precisamos calcular o valor dela. Sabemos que 1x^2+1 é uma função que tem uma antiderivada conhecida: arctan(x). Isso facilita nosso cálculo.

Passo 4

Vamos calcular a integral definida de -A a A, e depois tomar o limite quando A tende ao infinito. Ou seja:
integral-A^A 1x^2+1 dx = arctan(A) - arctan(-A)

Passo 5

Sabemos que arctan(-A) = -arctan(A), então a expressão fica:
arctan(A) - (-arctan(A)) = 2arctan(A)

Passo 6

Agora, vamos tomar o limite quando A tende ao infinito:
limA to infty 2arctan(A)
Sabemos que arctan(A) tende a pi2 quando A vai para o infinito.

Passo 7

Substituindo o limite:
2 times pi2 = pi

Resposta

A integral imprópria integral-infty^infty 1x^2+1 dx converge e seu valor é pi.

Exercícios relacionados