Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e funções que conhecemos bem, como a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, os limites são
e
, então a integral é imprópria por ter limites infinitos.
Passo 3
Agora, para verificar se a integral converge ou diverge, precisamos calcular o valor dela. Sabemos que
é uma função que tem uma antiderivada conhecida:
. Isso facilita nosso cálculo.
Passo 4
Vamos calcular a integral definida de
a
, e depois tomar o limite quando
tende ao infinito. Ou seja:
Passo 5
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos tomar o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito.
Passo 7
Substituindo o limite:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.