Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Esse tipo de problema está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e analisar o comportamento da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o inverso do cosseno, ou seja,
. Então, a integral que queremos calcular é:
Passo 3
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Então, precisamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos substituir isso na integral:
Agora, temos:
Passo 6
Rearranjando os termos para isolar
:
Então:
Passo 7
Vamos integrar
:
Portanto:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 9
Vamos avaliar nos extremos:
-
Em
: -
-
- Então,
e
-
-
Em
: -
-
- Então,
e
-
Passo 10
No entanto, precisamos considerar o comportamento da função
no intervalo
. Observamos que em
,
, o que faz com que
e, consequentemente,
tendam ao infinito. Isso indica que a função tem uma descontinuidade infinita nesse ponto, tornando a integral impropria.
Resposta
A integral
não converge, ou seja, diverge devido à descontinuidade infinita em
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite:
Dados
e
. Calcule
Calcule as seguintes integrais: