Calcule:
integral0^pi sec ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de sec^3 x no intervalo de 0 a pi. Esse tipo de problema está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e analisar o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sec x é o inverso do cosseno, ou seja, sec x = 1cos x. Então, a integral que queremos calcular é:
integral0^pi sec^3 x , dx

Passo 3

Para integrar sec^3 x, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = sec x
  • dv = sec^2 x , dx
Então, precisamos calcular du e v:
  • du = sec x tan x , dx
  • v = tan x

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral tan x cdot sec x tan x , dx
Simplificando a integral restante:
integral tan^2 x cdot sec x , dx

Passo 5

Sabemos que tan^2 x = sec^2 x - 1. Vamos substituir isso na integral:
integral (sec^2 x - 1) cdot sec x , dx = integral sec^3 x , dx - integral sec x , dx
Agora, temos:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - ( integral sec^3 x , dx - integral sec x , dx )

Passo 6

Rearranjando os termos para isolar integral sec^3 x , dx:
2 integral sec^3 x , dx = sec x tan x + integral sec x , dx
Então:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 integral sec x , dx

Passo 7

Vamos integrar sec x:
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C
Portanto:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi:
[ 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| ]0^pi

Passo 9

Vamos avaliar nos extremos:
  • Em x = 0:
    • sec 0 = 1
    • tan 0 = 0
    • Então, sec 0 tan 0 = 0 e ln |1 + 0| = 0
  • Em x = pi:
    • sec pi = -1
    • tan pi = 0
    • Então, sec pi tan pi = 0 e ln |-1 + 0| = ln 1 = 0

Passo 10

No entanto, precisamos considerar o comportamento da função sec x no intervalo [0, pi]. Observamos que em x = pi2, cos pi2 = 0, o que faz com que sec x e, consequentemente, sec^3 x tendam ao infinito. Isso indica que a função tem uma descontinuidade infinita nesse ponto, tornando a integral impropria.

Resposta

A integral integral0^pi sec^3 x , dx não converge, ou seja, diverge devido à descontinuidade infinita em x = pi2.

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