Desenhe
conjunto
e calcule sua área: O conjunto A é limitado pelas retas
e pelo gráfico
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos desenhar o conjunto A e calcular sua área. O conjunto A é limitado pelas retas
,
,
e pela curva
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente essas equações e utilizar integrais para calcular a área delimitada por elas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico das equações que delimitam o conjunto A:
- A reta
é o eixo y. - A reta
é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (1,0). - A reta
é uma linha horizontal que atravessa o eixo y no ponto (0,2). - A curva
é uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos (0,0), (1,1), etc.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas e retas:
- A interseção entre
e ocorre em (1,1). - A interseção entre
e é simplesmente (0,2). - A interseção entre
e acontece quando , ou seja, . Porém, como é uma das fronteiras, só consideramos até .
Passo 4
Agora, vamos determinar a área do conjunto A. A área entre duas curvas pode ser calculada usando uma integral definida. A fórmula geral é:
Onde
é a função de cima e
é a de baixo no intervalo de integração de
a
.
Passo 5
No nosso caso:
- A função de cima é a reta
. - A função de baixo é a parábola
. - O intervalo de integração é de
a .
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A área do conjunto A é
unidades de área.
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Mostre que a série
converge para zero. (Dica: use o teste da razão)
Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Calcule: