Desenhe o conjunto A e calcule sua área: O conjunto A é limitado pelas retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico y = x^2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos desenhar o conjunto A e calcular sua área. O conjunto A é limitado pelas retas x = 0, x = 1, e pela curva y = x^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar graficamente essas equações e utilizar integrais para calcular a área delimitada por elas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico das equações que delimitam o conjunto A:
  • A reta x = 0 é o eixo y.
  • A reta x = 1 é uma linha vertical que corta o eixo x no ponto (1,0).
  • A reta é uma linha horizontal que atravessa o eixo y no ponto (0,2).
  • A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, passando pelos pontos (0,0), (1,1), etc.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas e retas:
  • A interseção entre x = 1 e y = x^2 ocorre em (1,1).
  • A interseção entre x = 0 e é simplesmente (0,2).
  • A interseção entre e y = x^2 acontece quando , ou seja, . Porém, como x = 1 é uma das fronteiras, só consideramos até x = 1.

Passo 4

Agora, vamos determinar a área do conjunto A. A área entre duas curvas pode ser calculada usando uma integral definida. A fórmula geral é:
Á
Onde f(x) é a função de cima e g(x) é a de baixo no intervalo de integração de a .

Passo 5

No nosso caso:
  • A função de cima é a reta .
  • A função de baixo é a parábola y = x^2.
  • O intervalo de integração é de x = 0 a x = 1.
Portanto, a integral fica:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Á

Resposta

A área do conjunto A é 5/3 unidades de área.

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