Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de a usando o método de mudança de variável. Isso envolve cálculo integral e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição adequada para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que é uma identidade trigonométrica conhecida:
Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, para resolver , vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a potência de . Sabemos que:
Então, pode ser escrita como :

Passo 4

Vamos substituir na integral:
Agora, precisamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando termo a termo:
  1. Para , usamos a identidade:
Então:

Passo 6

Juntando tudo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:
Convertendo para :
E combinando os termos com :

Resposta

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Calcule:
Calcule:
Calcule: