Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo: integralpi3^pi2 sen^2(x) cdot(1-cos ^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de no intervalo de a usando o método de mudança de variável. Isso envolve cálculo integral e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição adequada para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que 1 - cos^2(x) = sin^2(x) é uma identidade trigonométrica conhecida:
integralpi3^pi2 sin^2(x) cdot sin^2(x) , dx = integralpi3^pi2 sin^4(x) , dx
Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, para resolver sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 , vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a potência de sin^4(x) = (1 - cos(2x)2)^2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)4 . Sabemos que:
Então, pode ser escrita como :

Passo 4

Vamos substituir integral sin^4(x) , dx = 14 integral (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) dx na integral:
Agora, precisamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando termo a termo:
  1. cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
  2. integral cos^2(2x) , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(4x) , dx = x2 + sin(4x)8
  3. Para , usamos a identidade:
Então:

Passo 6

Juntando tudo:
integral sin^4(x) , dx = 14 [ x - sin(2x) + x2 + sin(4x)8 ] + C
Simplificando:
14 ( 3x2 - sin(2x) + sin(4x)8 ) + C = 3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32 + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32 ]pi3^pi2 a 3(pi2)8 - sin(pi)4 + sin(2pi)32 = 3pi16 - 0 + 0 = 3pi16 :
3(pi3)8 - sin(2pi3)4 + sin(4pi3)32 = pi8 - raiz3/24 + -raiz3/232 = pi8 - raiz38 - raiz364
Calculando em :
Calculando em :

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:
3pi16 - ( pi8 - raiz38 - raiz364 ) = 3pi16 - pi8 + raiz38 + raiz364
Convertendo 3pi16 - 2pi16 = pi16 para raiz38 + raiz364 = 8raiz3 + raiz364 = 9raiz364 :
E combinando os termos com :

Resposta

pi16 + 9raiz364

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