Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
usando o método de mudança de variável. Isso envolve cálculo integral e algumas identidades trigonométricas. Vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição adequada para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
é uma identidade trigonométrica conhecida:
Então, podemos reescrever a integral assim:
Passo 3
Agora, para resolver
, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a potência de
. Sabemos que:
Então,
pode ser escrita como
:
Passo 4
Vamos substituir
na integral:
Agora, precisamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando termo a termo:
-
-
-
Para
, usamos a identidade:
Então:
Passo 6
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 8
Subtraindo as duas avaliações:
Convertendo
para
:
E combinando os termos com
:
Resposta
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conjunto
e calcule sua área: O conjunto A é limitado pelas retas
e pelo gráfico
.
Calcule:
Calcule:
Calcule: