Se
é contínua em
, mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é contínua no intervalo
. Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar propriedades de simetria e algumas técnicas de integração.
Passo 2
Vamos considerar uma substituição para facilitar a resolução. Pense em substituir
por
. Isso é útil porque
, o que mantém a função
inalterada.
Passo 3
Aplicando a substituição
na integral original, temos:
Como
, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos somar a integral original com a integral após a substituição:
Isso simplifica para:
porque
.
Passo 5
Agora, observamos que adicionamos duas vezes a integral desejada:
Passo 6
Para encontrar a integral original, basta dividir ambos os lados por 2:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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Determine
se:
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se:
Determine
se:
Calcule