Se é contínua em , mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é contínua no intervalo . Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar propriedades de simetria e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Vamos considerar uma substituição para facilitar a resolução. Pense em substituir por . Isso é útil porque , o que mantém a função inalterada.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral original, temos:
Como , a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos somar a integral original com a integral após a substituição:
Isso simplifica para:
porque .

Passo 5

Agora, observamos que adicionamos duas vezes a integral desejada:

Passo 6

Para encontrar a integral original, basta dividir ambos os lados por 2:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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