Se f é contínua em [0, pi], mostre que
integral0^pi x f(sen(x)) d x=pi2 integral0^pi f(sen(x)) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função integral0^pi x f(sin(x)) , dx = pi2 integral0^pi f(sin(x)) , dx que é contínua no intervalo . Precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar propriedades de simetria e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Vamos considerar uma substituição para facilitar a resolução. Pense em substituir por . Isso é útil porque , o que mantém a função inalterada.

Passo 3

Aplicando a substituição integral0^pi (pi - x) f(sin(pi - x)) , dx na integral original, temos:
integral0^pi (pi - x) f(sin(x)) , dx
Como , a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos somar a integral original com a integral após a substituição:
integral0^pi x f(sin(x)) , dx + integral0^pi (pi - x) f(sin(x)) , dx
Isso simplifica para:
pi integral0^pi f(sin(x)) , dx
porque .

Passo 5

Agora, observamos que adicionamos duas vezes a integral desejada:
2 integral0^pi x f(sin(x)) , dx = pi integral0^pi f(sin(x)) , dx

Passo 6

Para encontrar a integral original, basta dividir ambos os lados por 2:
integral0^pi x f(sin(x)) , dx = pi2 integral0^pi f(sin(x)) , dx

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^pi x f(sin(x)) , dx = pi2 integral0^pi f(sin(x)) , dx

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