Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função compõe a derivada de outra parte. Observamos que temos multiplicado por . Sabemos que a derivada de é , então a presença de sugere que podemos fazer uma substituição.

Passo 3

Vamos definir uma variável para simplificar a integral. Vamos escolher:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que é igual a .

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Não gostaríamos de ter um limite inferior maior que o superior, então vamos trocar os limites e tirar o sinal negativo:
Agora, essa é uma integral simples de uma potência de .

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração .

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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