Calcule: integral0^pi2 cos ^7 x sen x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente potências de cosseno e seno. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função compõe a derivada de outra parte. Observamos que temos multiplicado por . Sabemos que a derivada de é , então a presença de sugere que podemos fazer uma substituição.

Passo 3

Vamos definir uma variável u = cos x para simplificar a integral. Vamos escolher:
dudx = -sen x Rightarrow du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx
Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que é igual a .

Passo 4

Substituindo integral0^pi2 cos^7 x , sen x , dx = integralu(0)^u(pi2) u^7 cdot (-du) e u(0) = cos 0 = 1 na integral original, temos:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando u(pi2) = cos(pi2) = 0 :
-integral1^0 u^7 , du
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Não gostaríamos de ter um limite inferior maior que o superior, então vamos trocar os limites e tirar o sinal negativo:
integral0^1 u^7 , du
Agora, essa é uma integral simples de uma potência de .

Passo 6

Vamos integrar integral u^7 , du = u^88 + C em relação a :
Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração .

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
u^88 |0^1 = 1^88 - 0^88 = 18 - 0 = 18

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados