Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite da sequência cujo termo geral é
. Isso envolve entender produtos de termos que envolvem raízes diferentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre limites de sequências e propriedades de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada em cada fator do produto:
, onde
é ímpar e vai aumentando conforme
cresce. Queremos entender como cada um desses termos se comporta quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que
. Quando
aumenta,
tende a zero, então
tende a
. Portanto,
se aproxima de 1 conforme
cresce.
Passo 4
Agora, analisando
, temos que
é aproximadamente 1,4142 e
está se aproximando de 1. Então, cada termo do produto está se aproximando de
.
Passo 5
Entretanto, estamos multiplicando muitos desses termos à medida que
aumenta. Mesmo que cada termo seja positivo e menor que 1, ao multiplicar cada vez mais termos menores que 1, o produto tende a diminuir.
Passo 6
Para formalizar, observamos que cada fator
é menor que 1 e positivo. Como estamos multiplicando uma quantidade cada vez maior de números menores que 1, o produto total vai se aproximar de zero.
Passo 7
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
Resposta
0
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, justificando suas operações
R.: 1
Considere a sequência
definida por
.
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
Usando o princípio da indução, mostre que
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:-1
Calcule:
.