Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício tá na área de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o limite se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
.
- Numerador:
. Quando e se aproximam de 0, e também vão pra 0, mas o quão rápido eles vão depende das potências. - Denominador:
. Similarmente, e vão pra 0.
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, ele existe; se variar, o limite não existe.
Vamos tentar alguns caminhos:
Caminho 1:
- Substituindo
na fun��ão: - Quando
, .
Caminho 2:
- Substituindo
na função: - Quando
, .
Passo 4
Vamos tentar um caminho mais geral para confirmar. Usaremos coordenadas polares, onde
e
. Aqui,
representa a distância do ponto
até
, e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Podemos fatorar
do denominador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento quando
:
- O termo
tende a 0. - O termo
também tende a 0, mas ainda mais rápido que .
Portanto, o numerador todo tende a 0, enquanto o denominador
é uma constante que não depende de
e está sempre entre 1 e 2.
Resposta
Assim, o limite existe e vale:
Exercícios relacionados
Calcule:
.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:-1
Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Calcule:
.