lim (x, y) (0,0) x^4-y^4 y^4x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício tá na área de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o limite se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de .
  • Numerador: . Quando e se aproximam de 0, e também vão pra 0, mas o quão rápido eles vão depende das potências.
  • Denominador: . Similarmente, e vão pra 0.
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, ele existe; se variar, o limite não existe.
Vamos tentar alguns caminhos:
Caminho 1: x^4 - 0x^2 + 0 = x^4x^2 = x^2
  • Substituindo 0 - y^80 + 2y^2 = -y^82y^2 = -y^62 na fun��ão:
  • Quando , .
Caminho 2:
  • Substituindo na função:
  • Quando , .

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral para confirmar. Usaremos coordenadas polares, onde (r cos theta)^4 - (r sin theta)^8(r cos theta)^2 + 2(r sin theta)^2 = r^4 cos^4 theta - r^8 sin^8 thetar^2 cos^2 theta + 2r^2 sin^2 theta e = r^4 cos^4 theta - r^8 sin^8 thetar^2(cos^2 theta + 2 sin^2 theta) = r^2 cos^4 theta - r^6 sin^8 thetacos^2 theta + 2 sin^2 theta . Aqui, representa a distância do ponto até , e é o ângulo.
Substituindo na função:
Podemos fatorar do denominador:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando :
  • O termo tende a 0.
  • O termo também tende a 0, mas ainda mais rápido que .
Portanto, o numerador todo tende a 0, enquanto o denominador é uma constante que não depende de e está sempre entre 1 e 2.

Resposta

Assim, o limite existe e vale:
0

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