Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:-1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência com termo geral dado por:
Esse problema está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte da Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a soma no numerador e depois analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador:
. Essa é uma soma alternada de números positivos e negativos. Vamos organizar melhor para facilitar a soma.
Podemos separar os termos positivos e negativos:
Perceba que temos duas somas aqui: uma dos números ímpares e outra dos números pares.
Passo 3
Vamos calcular separadamente cada uma dessas somas.
Soma dos números ímpares:
A soma dos
primeiros números ímpares é dada por:
Soma dos números pares:
A soma dos
primeiros números pares é:
Passo 4
Agora, substituímos essas somas no numerador original:
Então, o termo geral da sequência fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Dividimos o numerador e o denominador por
:
Quando
tende ao infinito, o termo
tende a zero. Então, a expressão se simplifica para:
Resposta
O limite da sequência é
.
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Calcule:
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