Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = (1 - 2 + 3 - 4 + ... + (-2n)) / raiz(1 + n^2) R.:-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência com termo geral dado por:
Esse problema está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte da Análise Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a soma no numerador e depois analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: . Essa é uma soma alternada de números positivos e negativos. Vamos organizar melhor para facilitar a soma.
Podemos separar os termos positivos e negativos:
Perceba que temos duas somas aqui: uma dos números ímpares e outra dos números pares.

Passo 3

Vamos calcular separadamente cada uma dessas somas.
Soma dos números ímpares:
A soma dos primeiros números ímpares é dada por:
Soma dos números pares:
A soma dos primeiros números pares é:

Passo 4

Agora, substituímos essas somas no numerador original:
Então, o termo geral da sequência fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite. Dividimos o numerador e o denominador por :
Quando tende ao infinito, o termo tende a zero. Então, a expressão se simplifica para:

Resposta

O limite da sequência é .

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