Seja e . Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto definido por , e . O que a gente precisa descobrir é o volume do sólido que resulta ao girar esse conjunto em torno do eixo . Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A equação representa uma elipse. Como temos as restrições e , estamos olhando apenas para o primeiro quadrante dessa elipse.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos reescrever a equação da elipse:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 2 ao longo do eixo e semi-eixo menor de comprimento 1 ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, vamos pensar em girar essa região em torno do eixo . O método que vamos usar é o dos discos, que envolve integrar a área de discos circulares ao longo do eixo de rotação.

Passo 5

Primeiro, precisamos expressar em função de para facilitar a integração. Da equação da elipse:
Então,

Passo 6

O raio de cada disco será justamente . A área de cada disco é:

Passo 7

Para encontrar o volume total, vamos integrar a área dos discos em relação a no intervalo onde a elipse existe no primeiro quadrante. Observando a equação da elipse, quando , , e quando , . Então, vamos integrar de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação do conjunto em torno do eixo é unidades cúbicas.

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Calcule: .
Calcule: .
Considere a sequência definida por .
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.