Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto
definido por
,
e
. O que a gente precisa descobrir é o volume do sólido que resulta ao girar esse conjunto em torno do eixo
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, especialmente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A equação
representa uma elipse. Como temos as restrições
e
, estamos olhando apenas para o primeiro quadrante dessa elipse.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos reescrever a equação da elipse:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 2 ao longo do eixo
e semi-eixo menor de comprimento 1 ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos pensar em girar essa região em torno do eixo
. O método que vamos usar é o dos discos, que envolve integrar a área de discos circulares ao longo do eixo de rotação.
Passo 5
Primeiro, precisamos expressar
em função de
para facilitar a integração. Da equação da elipse:
Então,
Passo 6
O raio de cada disco será justamente
. A área de cada disco é:
Passo 7
Para encontrar o volume total, vamos integrar a área dos discos em relação a
no intervalo onde a elipse existe no primeiro quadrante. Observando a equação da elipse, quando
,
, e quando
,
. Então, vamos integrar de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação do conjunto
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule:
.
Calcule:
.
Considere a sequência
definida por
.
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
a. Usando o princípio da indução, mostre que
b. Calcule o limite da sequência.