Calcule: integral0^3 pi2|sen theta| d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de de a . Isso é de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como o seno se comporta nesse intervalo e como o valor absoluto afeta a função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o gráfico de de a . Sabemos que o seno é positivo de a e negativo de a . Como nosso intervalo termina em , que está entre e , precisamos dividir a integral nesses intervalos onde o seno muda de sinal.

Passo 3

Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De integral0^3pi2 |sin theta| dtheta = integral0^pi sin theta dtheta + integralpi^3pi2 -sin theta dtheta a , onde é positivo.
  2. De a , onde é negativo.
A integral original pode ser escrita assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi sin theta dtheta
A antiderivada de -cos theta |0^pi = [-cos pi] - [-cos 0] = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 é , então:

Passo 5

Segunda integral:
integralpi^3pi2 -sin theta dtheta
A antiderivada de cos theta |pi^3pi2 = cos ( 3pi2 ) - cos pi = 0 - (-1) = 1 é , então:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2 + 1 = 3

Resposta

O valor da integral é 3.

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