Esboce a região de integração e calcule as integrais: (b) integral duplaD y sen(x) d x d y onde D=(x, y) in R^2|| x mid <= pi / 2,0 <= y <= cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaD y sen(x) , dx , dy, onde a região D é definida por |x| <= pi2 e 0 <= y <= cos(x). Aqui, estamos lidando com integrais duplas e precisamos entender bem a região de integração para configurar direitinho a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Como |x| <= pi2, isso significa que x varia de -pi2 até pi2. E para cada valor de x, y vai de 0 até cos(x). Então, nosso domínio é uma faixa entre -pi2 e pi2 no eixo x, e de 0 até a curva y = cos(x) no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Como y vai de 0 até cos(x) para cada x, podemos integrar primeiro em y e depois em x. Então, a integral fica assim:
integral-pi2^pi2 ( integral0^cos(x) y sen(x) , dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. A função a integrar é y sen(x). Como sen(x) é constante em relação a y, podemos tirá-la da integral:
sen(x) integral0^cos(x) y , dy
A integral de y em relação a y é y^22, então:
sen(x) [ y^22 ]0^cos(x) = sen(x) cdot cos^2(x)2

Passo 5

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral-pi2^pi2 cos^2(x) sen(x)2 , dx = 12 integral-pi2^pi2 cos^2(x) sen(x) , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição: seja u = cos(x). Então, du = -sen(x) , dx. Quando x = -pi2, u = 0, e quando x = pi2, u = 0. Isso parece complicado, mas perceba que a função é par e a integral de - pi2 a pi2 de uma função ímpar é zero.

Passo 6

Na verdade, como a função sen(x) é ímpar e cos^2(x) é par, o produto cos^2(x) sen(x) é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
12 integral-pi2^pi2 cos^2(x) sen(x) , dx = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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