Esboce a região de integração e calcule as integrais: (b)
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde a região
é definida por
e
. Aqui, estamos lidando com integrais duplas e precisamos entender bem a região de integração para configurar direitinho a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Como
, isso significa que
varia de
até
. E para cada valor de
,
vai de
até
. Então, nosso domínio é uma faixa entre
e
no eixo
, e de
até a curva
no eixo
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como
vai de
até
para cada
, podemos integrar primeiro em
e depois em
. Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A função a integrar é
. Como
é constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição: seja
. Então,
. Quando
,
, e quando
,
. Isso parece complicado, mas perceba que a função é par e a integral de
a
de uma função ímpar é zero.
Passo 6
Na verdade, como a função
é ímpar e
é par, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Resposta
O valor da integral dupla é
.