Calcule as seguintes integrais duplas: (b)
onde
é a região limitada por
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Primeiro, precisamos entender qual é a região
onde vamos integrar. Essa região é limitada pelas curvas
,
e pelo eixo
. Vamos precisar desenhar essa região e definir os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar desenhando as retas que delimitam a região
. A primeira reta é
, que é uma linha reta passando pela origem com inclinação 45°. A segunda reta é
, que podemos reescrever como
. Essa reta intercepta o eixo
no ponto
e tem uma inclinação menor que a da primeira reta. O eixo
é apenas a linha vertical onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para definir os limites de integração.
Primeiro, igualamos
e
:
Substituindo
em
:
Então, as retas se interceptam no ponto
. A interseção com o eixo
é no ponto
para
e
para
.
Passo 4
Com esses pontos, podemos visualizar a região
. Ela é um trapézio com os vértices em
,
,
e
. Notamos que a região se estende de
a
. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 5
Vamos agora montar os limites de integração. Como
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Vamos expandir
:
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Integrando termo a termo em relação a
:
Então, a integral interna avaliada dos limites
a
é:
Passo 8
Vamos simplificar cada parte:
Passo 9
Somando todas as partes:
Simplificando os termos de
,
,
e constantes:
Passo 10
Calculando os coeficientes:
-
: -
: -
: - Constante:
Então, a integral interna simplificada é:
Passo 11
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Integrando termo a termo:
Passo 12
Agora, avaliamos a expressão integrada de
a
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
vale
.