Calcule as seguintes integrais duplas: (b) integral duplaD(x+y)^2 d x d y onde D é a região limitada por y=x, 2 y=x+2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaD (x + y)^2 , dx , dy. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Primeiro, precisamos entender qual é a região D onde vamos integrar. Essa região é limitada pelas curvas y = x, 2y = x + 2 e pelo eixo y. Vamos precisar desenhar essa região e definir os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar desenhando as retas que delimitam a região D. A primeira reta é y = x, que é uma linha reta passando pela origem com inclinação 45°. A segunda reta é 2y = x + 2, que podemos reescrever como y = x2 + 1. Essa reta intercepta o eixo y no ponto (0,1) e tem uma inclinação menor que a da primeira reta. O eixo y é apenas a linha vertical onde x = 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para definir os limites de integração.
Primeiro, igualamos y = x e y = x2 + 1:
x = x2 + 1 x - x2 = 1 x2 = 1 x = 2
Substituindo x = 2 em y = x:
y = 2
Então, as retas se interceptam no ponto (2, 2). A interseção com o eixo y é no ponto (0,0) para y = x e (0,1) para y = x2 + 1.

Passo 4

Com esses pontos, podemos visualizar a região D. Ela é um trapézio com os vértices em (0,0), (0,1), (2,2) e (2,2). Notamos que a região se estende de x = 0 a x = 2. Para cada valor de x, y varia de y = x até y = x2 + 1.

Passo 5

Vamos agora montar os limites de integração. Como x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de y = x até y = x2 + 1, a integral dupla fica:
integralx=0^2 integraly=x^x2 + 1 (x + y)^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Vamos expandir (x + y)^2:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Então, a integral interna fica:
integraly=x^x2 + 1 (x^2 + 2xy + y^2) , dy

Passo 7

Integrando termo a termo em relação a y:
  1. integral x^2 , dy = x^2 y
  2. integral 2xy , dy = 2x cdot y^22 = x y^2
  3. integral y^2 , dy = y^33
Então, a integral interna avaliada dos limites y = x a y = x2 + 1 é:
x^2 ( x2 + 1 ) + x ( ( x2 + 1 )^2 - x^2 ) + 13 ( ( x2 + 1 )^3 - x^3 )

Passo 8

Vamos simplificar cada parte:
  1. x^2 ( x2 + 1 ) = x^32 + x^2
  2. x ( ( x2 + 1 )^2 - x^2 ) = x ( x^24 + x + 1 - x^2 ) = x ( -3x^24 + x + 1 ) = -3x^34 + x^2 + x
  3. 13 ( ( x2 + 1 )^3 - x^3 ) = 13 ( x^38 + 3x^24 + 3x2 + 1 - x^3 ) = 13 ( -7x^38 + 3x^24 + 3x2 + 1 )

Passo 9

Somando todas as partes:
x^32 + x^2 - 3x^34 + x^2 + x + 13 ( -7x^38 + 3x^24 + 3x2 + 1 )
Simplificando os termos de x^3, x^2, x e constantes:
( x^32 - 3x^34 - 7x^324 ) + ( x^2 + x^2 + 3x^212 ) + ( x + 3x6 ) + 13

Passo 10

Calculando os coeficientes:
  1. x^3: 1224 - 1824 - 724 = -1324x^3
  2. x^2: 1 + 1 + 14 = 94x^2
  3. x: 1 + 12 = 32x
  4. Constante: 13
Então, a integral interna simplificada é:
-1324x^3 + 94x^2 + 32x + 13

Passo 11

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 2:
integral0^2 ( -1324x^3 + 94x^2 + 32x + 13 ) dx
Integrando termo a termo:
  1. integral -1324x^3 , dx = -1324 cdot x^44 = -1396x^4
  2. integral 94x^2 , dx = 94 cdot x^33 = 34x^3
  3. integral 32x , dx = 32 cdot x^22 = 34x^2
  4. integral 13 , dx = 13x

Passo 12

Agora, avaliamos a expressão integrada de 0 a 2:
[ -1396x^4 + 34x^3 + 34x^2 + 13x ]0^2
Substituindo x = 2:
-1396(16) + 34(8) + 34(4) + 13(2) = -20896 + 6 + 3 + 23
Simplificando:
-136 + 6 + 3 + 23 = (6 + 3) + (-136 + 23) = 9 - 136 + 46 = 9 - 96 = 9 - 1.5 = 7.5

Resposta

A integral dupla integral duplaD (x + y)^2 , dx , dy vale 7,!5.

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