Calcule: integral0^pi3 sin x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar usar a substituição -substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para substituir. Olhando para , percebemos que se a gente deixar , então a derivada de em relação a é . Isso é legal porque aparece na nossa integral.

Passo 3

Com integral sin x cos^2 x , dx = integral cos^2 x cdot sin x , dx = integral u^2 cdot (-du) = -integral u^2 , du e , podemos reescrever como . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar -integral u^2 , du = -( u^33 ) + C . A antiderivada de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Mas como nossa integral é definida, não precisamos do -( cos^3 x3 ) . Vamos substituir -[ cos^3 ( pi3 )3 - cos^3(0)3 ] de volta na expressão:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 6

Vamos calcular os valores:
  • -[ ( 12 )^33 - 1^33 ] = -[ 183 - 13 ] = -[ 124 - 13 ]
Substituindo:

Passo 7

Simplificando dentro dos colchetes:
124 - 13 = 124 - 824 = -724
Então temos:
- ( -724 ) = 724

Resposta

O valor da integral é .

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