( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine
e
em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos
que não são a origem
e outra especificamente na origem. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
em todos os pontos do domínio da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os pontos onde
. Nesses pontos, a função é dada por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando as regras de derivação para funções racionais.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
Para derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante. Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais no ponto
. Aqui, usamos a definição de derivada parcial:
Calculando cada limite:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
E no ponto
:
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( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja e
. Dizemos que
é um ponto de acumulação de
se, para cada
, temos
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja
isto
úm ponto de acumulação de
, se em qualquer bola aberta centrada em
existe pelo menos um elemento de
distinto de
.
Calcule
pela definição:
( 2.0 pts
Calcule caso exista
Calcule: