( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine
e
em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos
que não são a origem
e outra especificamente na origem. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
em todos os pontos do domínio da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar os pontos onde
. Nesses pontos, a função é dada por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando as regras de derivação para funções racionais.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
:
Para derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante. Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais no ponto
. Aqui, usamos a definição de derivada parcial:
Calculando cada limite:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
E no ponto
: