( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine e em cada um dos pontos do domínio da funçāo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos que não são a origem e outra especificamente na origem. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e em todos os pontos do domínio da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os pontos onde . Nesses pontos, a função é dada por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando as regras de derivação para funções racionais.

Passo 3

Derivada parcial em relação a :
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a , tratando como constante. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais no ponto . Aqui, usamos a definição de derivada parcial:
Calculando cada limite:
Para :
Para :
á

Resposta

As derivadas parciais de são:
E no ponto :

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( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja e . Dizemos que é um ponto de acumulação de se, para cada , temos
isto úm ponto de acumulação de , se em qualquer bola aberta centrada em existe pelo menos um elemento de distinto de .
Calcule pela definição:
( 2.0 pts Calcule caso exista
Calcule: