( 3.0 pts ) Considere a funçuo
f(x, y)=rrr x^3 y3 x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
Determine partial fpartial x e partial fpartial y em cada um dos pontos do domínio da funçāo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos que não são a origem e outra especificamente na origem. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e em todos os pontos do domínio da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os pontos onde f(x, y) = x^3 y3 x^2 + y^2 . Nesses pontos, a função é dada por:
Vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando as regras de derivação para funções racionais.

Passo 3

Derivada parcial em relação a partial fpartial x = (3x^2 y)(3x^2 + y^2) - x^3 y (6x)(3x^2 + y^2)^2 :
Para derivar (3x^2 y)(3x^2 + y^2) - x^3 y (6x) = 9x^4 y + 3x^2 y^3 - 6x^4 y = 3x^4 y + 3x^2 y^3 em relação a partial fpartial x = 3x^4 y + 3x^2 y^3(3x^2 + y^2)^2 = 3x^2 y (x^2 + y^2)(3x^2 + y^2)^2 , tratamos como uma constante. Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Derivada parcial em relação a partial fpartial y = x^3(3x^2 + y^2) - x^3 y (2y)(3x^2 + y^2)^2 :
Agora, derivamos x^3(3x^2 + y^2) - 2x^3 y^2 = 3x^5 + x^3 y^2 - 2x^3 y^2 = 3x^5 - x^3 y^2 em relação a partial fpartial y = 3x^5 - x^3 y^2(3x^2 + y^2)^2 , tratando como constante. Novamente, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h . Aqui, usamos a definição de derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
f(h,0) = h^3 cdot 03h^2 + 0^2 = 0
Calculando cada limite:
Para partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 :
f(0,k) = 0 (já que (0,k) neq (0,0) mas x=0)
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
Para :
á

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(x, y) = 3x^2 y (x^2 + y^2)(3x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0) são:
partial fpartial y(x, y) = 3x^5 - x^3 y^2(3x^2 + y^2)^2 para (x, y) neq (0,0)
partial fpartial x(0,0) = 0
E no ponto partial fpartial y(0,0) = 0 :

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