( 2.0 pts
Calcule caso exista
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que
se aproxima de
. A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe seguindo diferentes caminhos para
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na função:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe.
Passo 3
Uma maneira comum de verificar se um limite de várias variáveis existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1:
Substituindo
:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo
:
Também obtivemos 0 nesse caminho.
Caminho 3:
, onde
é uma constante
Substituindo
:
À medida que
, esse limite também tende a 0, desde que
, ou seja,
.
Passo 4
Vamos verificar o que acontece quando
:
Substituindo
:
A função fica:
Isso resulta em uma divisão por zero, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho específico.
Resposta
O limite não existe.
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( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine
e
em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja e
. Dizemos que
é um ponto de acumulação de
se, para cada
, temos
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja
isto
úm ponto de acumulação de
, se em qualquer bola aberta centrada em
existe pelo menos um elemento de
distinto de
.
Calcule:
( 5.0 pts
função
é diferenciável em
?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de
. Dizemos que
é diferenciável em
se e somente se existirem reais
e
tais que
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto
, então
e
.