( 2.0 pts Calcule caso exista

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que se aproxima de . A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe seguindo diferentes caminhos para .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe.

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se um limite de várias variáveis existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1:
Substituindo :
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo :
Também obtivemos 0 nesse caminho.
Caminho 3: , onde é uma constante
Substituindo :
À medida que , esse limite também tende a 0, desde que , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar o que acontece quando :
Substituindo :
A função fica:
Isso resulta em uma divisão por zero, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho específico.

Resposta

O limite não existe.

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( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine e em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
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(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja e . Dizemos que é um ponto de acumulação de se, para cada , temos
isto úm ponto de acumulação de , se em qualquer bola aberta centrada em existe pelo menos um elemento de distinto de .
Calcule:
( 5.0 pts função
é diferenciável em ?
Dica: Use a definição de diferenciabilidade para justificar a sua resposta.
Definição. Sejam aberto de . Dizemos que é diferenciável em se e somente se existirem reais e tais que
Sabe-se que se a funçâo é diferenciável no ponto , então e .