( 2.0 pts ) Calcule caso exista
lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-4^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis à medida que lim (x, y) (0,0) x y^2x^2-16 y^2 se aproxima de . A função é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites em várias variáveis e verificar se o limite existe seguindo diferentes caminhos para .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 0 cdot 0^20^2 - 16 cdot 0^2 = 00 na função:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos analisar mais a fundo para ver se o limite existe.

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se um limite de várias variáveis existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Caminho 1: x cdot 0^2x^2 - 16 cdot 0^2 = 0x^2 = 0
Substituindo 0 cdot y^20^2 - 16 y^2 = 0-16 y^2 = 0 :
x cdot (k x)^2x^2 - 16 (k x)^2 = x cdot k^2 x^2x^2 - 16 k^2 x^2 = k^2 x^3x^2 (1 - 16 k^2) = k^2 x1 - 16 k^2
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo :
Também obtivemos 0 nesse caminho.
Caminho 3: , onde é uma constante
Substituindo :
À medida que , esse limite também tende a 0, desde que , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar o que acontece quando y = 14 x :
Substituindo x cdot (14 x)^2x^2 - 16 (14 x)^2 = x cdot 116 x^2x^2 - 16 cdot 116 x^2 = 116 x^3x^2 - x^2 = 116 x^30 :
A função fica:
Isso resulta em uma divisão por zero, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe nesse caminho específico.

Resposta

O limite não existe.

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