Calcule integral0^pi4(12+cos (2 x)2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente de integrais definidas envolvendo funções trigonométricas e constantes. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções constantes e a função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi4 12 , dx + integral0^pi4 cos(2x)2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
  1. Integral da constante integral 12 , dx = 12x + C :
integral cos(2x)2 , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4 + C
  1. Integral de :
Aqui, precisamos lembrar que a integral de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos somar as integrais e aplicar os limites de [ 12x + sin(2x)4 ]0^pi4 = ( 12 cdot pi4 + sin(2 cdot pi4)4 ) - ( 12 cdot 0 + sin(0)4 ) a = pi8 + sin(pi2)4 - 0 - 0 :
= pi8 + 14
Simplificando:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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