(a) Determine a equação da reta tangente a curva e no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida pelas funções paramétricas e no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para curvas paramétricas e entender como encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Isso significa que vamos resolver o sistema:
Vamos resolver a equação de para encontrar .
Passo 3
Resolvendo , temos:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Então, é uma solução. Agora, vamos verificar se esse valor de também satisfaz a equação de .
Passo 4
Substituindo em :
Ótimo! Isso confirma que corresponde ao ponto .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas e para determinar a inclinação da reta tangente.
Substituindo :
Passo 6
A inclinação da reta tangente é dada por . Então:
Aqui, a divisão por zero indica que a reta tangente é vertical.