(a) Determine a equação da reta tangente a curva x(t) = t^3 - 12 t e y(t) = t^2 - 6 t no ponto (-16, -8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à curva definida pelas funções paramétricas e no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para curvas paramétricas e entender como encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Isso significa que vamos resolver o sistema:
Vamos resolver a equação de para encontrar .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Então, é uma solução. Agora, vamos verificar se esse valor de também satisfaz a equação de .

Passo 4

Substituindo em :
Ótimo! Isso confirma que corresponde ao ponto .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas e para determinar a inclinação da reta tangente.
Substituindo :

Passo 6

A inclinação da reta tangente é dada por . Então:
Aqui, a divisão por zero indica que a reta tangente é vertical.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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