Determine: una solução particular para o sistema não-homogêneo {dot(x) = x - 2*y + 2*e^(2*t), dot(y) = x + y - 6*e^(2*t)};

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais não homogêneo:
O objetivo é encontrar uma solução particular para esse sistema. Para isso, vamos usar o método de coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar soluções específicas para equações diferenciais não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte não homogênea do sistema, que são os termos que não dependem de ou . Neste caso, temos e .
Como esses termos envolvem , nossa suposição para a solução particular será da forma:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação ao tempo :
Essas derivadas serão usadas para substituir no sistema original.

Passo 4

Substituímos , , e no sistema original:
Podemos simplificar removendo de todos os termos:

Passo 5

Agora temos um sistema de equações algébricas para e :
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 6

Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (2):
Substituímos na equação (1):
Agora, encontramos :

Resposta

Uma solução particular para o sistema é:

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