Determine: una solução particular para o sistema não-homogêneo
;
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais não homogêneo:
O objetivo é encontrar uma solução particular para esse sistema. Para isso, vamos usar o método de coeficientes a determinar, que nos ajuda a encontrar soluções específicas para equações diferenciais não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte não homogênea do sistema, que são os termos que não dependem de
ou
. Neste caso, temos
e
.
Como esses termos envolvem
, nossa suposição para a solução particular será da forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação ao tempo
:
Essas derivadas serão usadas para substituir no sistema original.
Passo 4
Substituímos
,
,
e
no sistema original:
Podemos simplificar removendo
de todos os termos:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações algébricas para
e
:
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 6
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Da equação (2):
Substituímos
na equação (1):
Agora, encontramos
:
Resposta
Uma solução particular para o sistema é:
Exercícios relacionados
Determine: a solução geral da equação
.
Determine: a solução geral do sistema homogêneo
;
(a) Determine a equação da reta tangente a curva
e
no ponto
Calcule