Dado o campo vetorial F(x, y, z)=2 x y^3 i^t o+(1+3 x^2 y^2) stackrelt oj.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função phi(x, y, z).
iii) Calcule o trabalho W=integralC F cdot d r ao longo de uma curva que liga o ponto (1,4,0) até o ponto (3,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campo vetorial juntos! A questão nos dá um campo vetorial e pede para:
i) Mostrar que o campo é irrotacional.
ii) Encontrar a função .
iii) Calcular o trabalho ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como rotacional de um campo vetorial, campos conservativos e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

i) Mostrar que o campo é irrotacional.
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. O rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , denotado por partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 0 , é dado por:
partial Fxpartial z = 0, partial Fzpartial x = 0
No nosso caso, partial Fypartial x = 6xy^2, partial Fxpartial y = 6xy^2 . Observamos que não há componente nabla times F = (0 - 0) i + (0 - 0) j + (6xy^2 - 6xy^2) k = 0 , ou seja, .
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do rotacional:
Então, o rotacional de é zero, o que significa que é irrotacional.

Passo 3

ii) Encontrar a função partial phipartial x = 2xy^3, partial phipartial y = 1 + 3x^2y^2, partial phipartial z = 0 .
Como o campo é irrotacional, ele é conservativo, ou seja, existe uma função escalar phi(x, y, z) = integral 2xy^3 dx = x^2y^3 + g(y, z) tal que partial phipartial y = 3x^2y^2 + partial gpartial y = 1 + 3x^2y^2 . Isso significa:
partial gpartial y = 1
Integrando a primeira equação em relação a g(y, z) = y + h(z) :
phi(x, y, z) = x^2y^3 + y + h(z)
Agora, derivamos partial phipartial z = dhdz = 0 Rightarrow h(z) = constante em relação a phi(x, y, z) = x^2y^3 + y e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Agora, nossa função fica:
Derivando em relação a e igualando à terceira equação:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

iii) Calcular o trabalho W = phi(3,1,0) - phi(1,4,0) ao longo de uma curva que liga phi(3,1,0) = (3)^2(1)^3 + 1 = 9 + 1 = 10 a phi(1,4,0) = (1)^2(4)^3 + 4 = 64 + 4 = 68 .
Como o campo W = 10 - 68 = -58 é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, e podemos usar a função potencial para calcular:
Calculando nos pontos:
Para :
Para :
Então, o trabalho é:

Resposta

i) O campo é irrotacional porque seu rotacional é zero.
ii) A função potencial é .
iii) O trabalho realizado é .

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