Dado o campo vetorial .
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função .
iii) Calcule o trabalho ao longo de uma curva que liga o ponto até o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campo vetorial juntos! A questão nos dá um campo vetorial e pede para:
i) Mostrar que o campo é irrotacional.
ii) Encontrar a função .
iii) Calcular o trabalho ao longo de uma curva que vai do ponto até o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como rotacional de um campo vetorial, campos conservativos e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

i) Mostrar que o campo é irrotacional.
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. O rotacional de , denotado por , é dado por:
No nosso caso, . Observamos que não há componente , ou seja, .
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do rotacional:
Então, o rotacional de é zero, o que significa que é irrotacional.

Passo 3

ii) Encontrar a função .
Como o campo é irrotacional, ele é conservativo, ou seja, existe uma função escalar tal que . Isso significa:
Integrando a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Agora, nossa função fica:
Derivando em relação a e igualando à terceira equação:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

iii) Calcular o trabalho ao longo de uma curva que liga a .
Como o campo é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, e podemos usar a função potencial para calcular:
Calculando nos pontos:
Para :
Para :
Então, o trabalho é:

Resposta

i) O campo é irrotacional porque seu rotacional é zero.
ii) A função potencial é .
iii) O trabalho realizado é .

Exercícios relacionados

Calcule , para e é a curva dada por .
Prove a seguinte propriedade da transformada unilateral:
Se , mostre que:
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa ao deslocar uma partícula desde até .
Calcule