Dado o campo vetorial
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
.
iii) Calcule o trabalho
ao longo de uma curva que liga o ponto
até o ponto
.
i) Mostre que o campo é irrotacional.
ii) Encontre a função
iii) Calcule o trabalho
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campo vetorial juntos! A questão nos dá um campo vetorial
e pede para:
i) Mostrar que o campo é irrotacional.
ii) Encontrar a função
.
iii) Calcular o trabalho
ao longo de uma curva que vai do ponto
até o ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como rotacional de um campo vetorial, campos conservativos e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
i) Mostrar que o campo é irrotacional.
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional for igual a zero. O rotacional de
, denotado por
, é dado por:
No nosso caso,
. Observamos que não há componente
, ou seja,
.
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do rotacional:
Então, o rotacional de
é zero, o que significa que
é irrotacional.
Passo 3
ii) Encontrar a função
.
Como o campo é irrotacional, ele é conservativo, ou seja, existe uma função escalar
tal que
. Isso significa:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Agora, nossa função
fica:
Derivando
em relação a
e igualando à terceira equação:
Podemos considerar a constante como zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
iii) Calcular o trabalho
ao longo de uma curva que liga
a
.
Como o campo
é conservativo, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final, e podemos usar a função potencial
para calcular:
Calculando
nos pontos:
Para
:
Para
:
Então, o trabalho é:
Resposta
i) O campo
é irrotacional porque seu rotacional é zero.
ii) A função potencial é
.
iii) O trabalho realizado é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, para
e
é a curva dada por
.
Se
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
ao deslocar uma partícula desde
até
.
Calcule