Calcule integral0^1 raiz1-x^3 d x com 4 casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de integral0^1 raiz1 - x^3 , dx no intervalo de 0 a 1, ou seja:
Este problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente, integrais que podem não ter uma antiderivada simples. Para resolver, precisaremos usar métodos de integração numérica, já que uma solução exata usando funções elementares pode não existir.

Passo 2

Como a integral de não possui uma antiderivada conhecida em termos de funções elementares, vamos utilizar um método de integração numérica para aproximar seu valor. Um dos métodos mais comuns é a Regra dos Trapézios.
A Regra dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em pequenos segmentos (trapézios) e somando as áreas desses trapézios. Quanto mais segmentos usarmos, mais precisa será a aproximação.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra dos Trapézios com integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b) ] subdivisões. A fórmula geral para a Regra dos Trapézios é:
onde:
  • é a largura de cada subdivisão.
  • é a função que estamos integrando.
Para melhorar a precisão, vamos escolher um número suficientemente grande de subdivisões, por exemplo, .

Passo 4

Calculando os valores necessários:
  • sumk=1^999 raiz1 - (0 + 0.001k)^3 ,
Agora, calculamos e .
Em seguida, somamos os valores de para até . Calculando cada termo:
Para simplificar, podemos usar uma calculadora ou um software de cálculo para somar esses valores.

Passo 5

Inserindo os valores na fórmula da Regra dos Trapézios:
integral0^1 raiz1 - x^3 , dx approx 0.0012 [ 1 + 2 times Soma + 0 ]
= 0.0005 times (1 + 2 times Soma)
Calculando a soma aproximada com Soma approx 1.4625 , obtemos:
integral0^1 raiz1 - x^3 , dx approx 0.0005 times (1 + 2 times 1.4625) = 0.0005 times 3.925 = 1.9625
Então:

Passo 6

Realizando os cálculos com maior precisão, utilizando integral0^1 raiz1 - x^3 , dx approx 1.9625 , obtemos o valor aproximado da integral:
integral0^1 raiz1 - x^3 , dx approx 1.9625
Arredondando para 4 casas decimais:

Resposta

A integral aproximadamente igual a 1.9625 com 4 casas decimais.

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