Calcule
com 4 casas decimais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 1, ou seja:
Este problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente, integrais que podem não ter uma antiderivada simples. Para resolver, precisaremos usar métodos de integração numérica, já que uma solução exata usando funções elementares pode não existir.
Passo 2
Como a integral de
não possui uma antiderivada conhecida em termos de funções elementares, vamos utilizar um método de integração numérica para aproximar seu valor. Um dos métodos mais comuns é a Regra dos Trapézios.
A Regra dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em pequenos segmentos (trapézios) e somando as áreas desses trapézios. Quanto mais segmentos usarmos, mais precisa será a aproximação.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra dos Trapézios com
subdivisões. A fórmula geral para a Regra dos Trapézios é:
onde:
-
é a largura de cada subdivisão. -
é a função que estamos integrando.
Para melhorar a precisão, vamos escolher um número suficientemente grande de subdivisões, por exemplo,
.
Passo 4
Calculando os valores necessários:
-
, -
-
Agora, calculamos
e
.
Em seguida, somamos os valores de
para
até
. Calculando cada termo:
Para simplificar, podemos usar uma calculadora ou um software de cálculo para somar esses valores.
Passo 5
Inserindo os valores na fórmula da Regra dos Trapézios:
Calculando a soma aproximada com
, obtemos:
Então:
Passo 6
Realizando os cálculos com maior precisão, utilizando
, obtemos o valor aproximado da integral:
Arredondando para 4 casas decimais:
Resposta
A integral
aproximadamente igual a 1.9625 com 4 casas decimais.
Exercícios relacionados
Uma função
, infinitamente derivável, é tal que
, e
. Represente a função
por uma série de potências de
. Idem para uma função
com as propriedades:
e
.
Usando a série binomial para
, calcule o valor de
com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.