Usando a série binomial para raiz(3)(1 + x), calcule o valor de raiz(25, 3) com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a raiz cúbica de 25 usando a série binomial para raiz(3)(1 + x). Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo. Vamos precisar entender como funciona a série binomial e como aplicá-la para aproximar a raiz cúbica de um número.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever raiz(25, 3) de uma forma que se encaixe na fórmula da série binomial. Observamos que 25 pode ser escrito como , já que . Então, temos:
Aqui, tiramos a raiz cúbica de 27, que é 3, e ficamos com .

Passo 3

Agora, vamos usar a série binomial para aproximar . A série binomial para é dada por:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na série:

Passo 4

Vamos calcular cada termo da aproximação:
  1. Primeiro termo: 1
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 5

Somando os termos calculados:
Então, a aproximação para é aproximadamente 0,9747.

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão original:

Resposta

Portanto, usando a série binomial, a aproximação para raiz(25, 3) é 2,924. Se calcularmos raiz(25, 3) em uma calculadora, obtemos aproximadamente 2,924 também, confirmando que nossa aproximação está correta!

Exercícios relacionados