Usando a série binomial para , calcule o valor de com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a raiz cúbica de 25 usando a série binomial para . Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo. Vamos precisar entender como funciona a série binomial e como aplicá-la para aproximar a raiz cúbica de um número.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se encaixe na fórmula da série binomial. Observamos que 25 pode ser escrito como , já que . Então, temos:
Aqui, tiramos a raiz cúbica de 27, que é 3, e ficamos com .

Passo 3

Agora, vamos usar a série binomial para aproximar . A série binomial para é dada por:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na série:

Passo 4

Vamos calcular cada termo da aproximação:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 5

Somando os termos calculados:
Então, a aproximação para é aproximadamente 0,9747.

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão original:

Resposta

Portanto, usando a série binomial, a aproximação para é 2,924. Se calcularmos em uma calculadora, obtemos aproximadamente 2,924 também, confirmando que nossa aproximação está correta!

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Uma função , infinitamente derivável, é tal que , e . Represente a função por uma série de potências de . Idem para uma função com as propriedades: e .
Calcule com 4 casas decimais.
A expansão binomial
simbolicamente representada por:
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o expoente é um número fracionário positivo ou negativo, onde ele obteve uma expansão em série infinita para . Motivados pela fórmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expansão em série de potências para a função , sendo um número real qualquer, a qual será a série de Maclaurin de :
cujo -ésimo termo é , temos que:
e, portanto, a série binomial converge absolutamente quando e diverge quando .