Usando a série binomial para , calcule o valor de com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a raiz cúbica de 25 usando a série binomial para . Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo. Vamos precisar entender como funciona a série binomial e como aplicá-la para aproximar a raiz cúbica de um número.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever de uma forma que se encaixe na fórmula da série binomial. Observamos que 25 pode ser escrito como , já que . Então, temos:
Aqui, tiramos a raiz cúbica de 27, que é 3, e ficamos com .
Passo 3
Agora, vamos usar a série binomial para aproximar . A série binomial para é dada por:
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na série:
Passo 4
Vamos calcular cada termo da aproximação:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Somando os termos calculados:
Então, a aproximação para é aproximadamente 0,9747.
Passo 6
Agora, voltamos à nossa expressão original:
Resposta
Portanto, usando a série binomial, a aproximação para é 2,924. Se calcularmos em uma calculadora, obtemos aproximadamente 2,924 também, confirmando que nossa aproximação está correta!