integral sin ^3(4 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sin^3(4x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a reduzir a potência do seno, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3(4x) para facilitar a aplicação da identidade trigonométrica. Podemos separar a potência ímpar de seno da seguinte maneira:
sin^3(4x) = sin^2(4x) cdot sin(4x)
Sabemos que sin^2(u) = 1 - cos^2(u), então substituindo:
sin^3(4x) = (1 - cos^2(4x)) cdot sin(4x)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = cos(4x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -4sin(4x) Rightarrow du = -4sin(4x) , dx
Isso implica que:
sin(4x) , dx = -14 , du

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral sin^3(4x) , dx = integral (1 - u^2) cdot (-14) , du = -14 integral (1 - u^2) , du
Agora, vamos integrar termo a termo:
-14 ( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = -14 ( u - u^33 ) + C

Passo 5

Finalmente, substituímos u = cos(4x) de volta na expressão:
-14 cos(4x) + 112 cos^3(4x) + C

Resposta

integral sin^3(4x) , dx = -14 cos(4x) + 112 cos^3(4x) + C

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