Uma função f: R -> R, infinitamente derivável, é tal que f'(x) = 2x f(x), f(x) > 0, para todo x, e f(0) = 1. Represente a função f(x) por uma série de potências de x. Idem para uma função g(x) com as propriedades: g(0)=0, g'(0)=1 e g''(x) = -g(x), para todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos duas funções, e , como séries de potências de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e séries de Taylor. Precisamos resolver as equações diferenciais dadas e expandir as soluções em séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para : com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Sabemos que uma equação do tipo tem solução geral . Aqui, .

Passo 4

Calculando a integral: . Então, a solução geral é .

Passo 5

Aplicamos a condição inicial : . Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos representar como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é . Substituindo , temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para com as condições , e . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 8

A equação é típica das funções trigonométricas seno e cosseno. A solução geral é .

Passo 9

Aplicando as condições iniciais:
  • : .
  • , então .

Passo 10

Com isso, a solução é .

Passo 11

Agora, representamos como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é:

Resposta

A função é representada pela série de potências:
E a função é representada pela série de potências:

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