Uma função , infinitamente derivável, é tal que , e . Represente a função por uma série de potências de . Idem para uma função com as propriedades: e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos duas funções, e , como séries de potências de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e séries de Taylor. Precisamos resolver as equações diferenciais dadas e expandir as soluções em séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para : com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Sabemos que uma equação do tipo tem solução geral . Aqui, .
Passo 4
Calculando a integral: . Então, a solução geral é .
Passo 5
Aplicamos a condição inicial : → . Portanto, .
Passo 6
Agora, vamos representar como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é . Substituindo , temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para com as condições , e . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Passo 8
A equação é típica das funções trigonométricas seno e cosseno. A solução geral é .
Passo 9
Aplicando as condições iniciais:
: .
, então .
Passo 10
Com isso, a solução é .
Passo 11
Agora, representamos como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é:
Resposta
A função é representada pela série de potências:
E a função é representada pela série de potências: