Uma função
, infinitamente derivável, é tal que
, e
. Represente a função
por uma série de potências de
. Idem para uma função
com as propriedades:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos duas funções,
e
, como séries de potências de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e séries de Taylor. Precisamos resolver as equações diferenciais dadas e expandir as soluções em séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para
:
com a condição inicial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Sabemos que uma equação do tipo
tem solução geral
. Aqui,
.
Passo 4
Calculando a integral:
. Então, a solução geral é
.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
→
. Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos representar
como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
é
. Substituindo
, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
com as condições
,
e
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Passo 8
A equação
é típica das funções trigonométricas seno e cosseno. A solução geral é
.
Passo 9
Aplicando as condições iniciais:
-
: . -
, então .
Passo 10
Com isso, a solução é
.
Passo 11
Agora, representamos
como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Resposta
A função
é representada pela série de potências:
E a função
é representada pela série de potências: