Uma função , infinitamente derivável, é tal que , e . Represente a função por uma série de potências de . Idem para uma função com as propriedades: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos duas funções, e , como séries de potências de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e séries de Taylor. Precisamos resolver as equações diferenciais dadas e expandir as soluções em séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para : com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Sabemos que uma equação do tipo tem solução geral . Aqui, .

Passo 4

Calculando a integral: . Então, a solução geral é .

Passo 5

Aplicamos a condição inicial : . Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos representar como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é . Substituindo , temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para com as condições , e . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 8

A equação é típica das funções trigonométricas seno e cosseno. A solução geral é .

Passo 9

Aplicando as condições iniciais:
  • : .
  • , então .

Passo 10

Com isso, a solução é .

Passo 11

Agora, representamos como uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para é:

Resposta

A função é representada pela série de potências:
E a função é representada pela série de potências:

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simbolicamente representada por:
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o expoente é um número fracionário positivo ou negativo, onde ele obteve uma expansão em série infinita para . Motivados pela fórmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expansão em série de potências para a função , sendo um número real qualquer, a qual será a série de Maclaurin de :
cujo -ésimo termo é , temos que:
e, portanto, a série binomial converge absolutamente quando e diverge quando .