Calcule: integral0^2 raiz4-x^2 d x Dica: Faça x=2 cos theta ou x=2 sen theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma substituição trigonométrica. A dica sugere usar ou . Vou escolher porque facilita o cálculo aqui.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que . Precisamos também ajustar os limites de integração para . Quando , . Quando , .

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
integral0^2 raiz4 - x^2 , dx = integral0^pi2 raiz4 - (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta
Então a integral fica:
integral0^pi2 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integral0^pi2 cos^2 theta , dtheta

Passo 4

Para resolver cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
4 integral0^pi2 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral0^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
2 [ integral0^pi2 1 , dtheta + integral0^pi2 cos 2theta , dtheta ]
A primeira integral é simples:
integral 1 , dtheta = theta
A segunda integral usa uma substituição integral cos 2theta , dtheta = 12 sin 2theta :
2 [ theta |0^pi2 + 12 sin 2theta |0^pi2 ] = 2 [ pi2 - 0 + 12 (sin pi - sin 0) ] = 2 [ pi2 + 0 ] = pi
Então temos:

Resposta

O valor da integral é .

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