Em um circuito , considere constante. Encontre a carga e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito R-C onde a fonte de tensão é constante, igual a . A gente precisa descobrir como a carga e a corrente elétrica variam com o tempo nesse circuito. Isso pertence à matéria de circuitos elétricos, mais especificamente aos circuitos de carga de capacitores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes do circuito. Num circuito R-C, temos um resistor e um capacitor ligados em série com uma fonte de tensão . Quando ligamos o circuito, o capacitor começa a carregar, e a corrente circula através do resistor e do capacitor.

Passo 3

Para achar e , precisamos montar a equação que descreve o comportamento do circuito. Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões, sabemos que a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte:
Como e , substituímos:
Além disso, sabemos que a corrente é a taxa de variação da carga no capacitor:

Passo 4

Substituindo na primeira equação, temos uma equação diferencial:
Rearranjando para deixar tudo em termos de :

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma:
Podemos resolver usando o fator integrante .
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Considerando que no tempo , a carga , encontramos que . Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos achar derivando em relação ao tempo:

Resposta

A carga no capacitor é e a corrente elétrica é .

Exercícios relacionados

Seja e . Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .
(Dificílimas!!!) Seja uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição . Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência
Calcule: Dica: Faça ou
Um corpo à temperatura de é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de . Se, após 5 minutos, a temperatura do corpo é de , determinar: