Seja A = {(x, y) ∈ R² | y ≥ 0, x ≥ 0} e x^2 + 4y^2 <= 4. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver seu exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Cálculo, mais especificamente sobre volume de sólidos de rotação. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta ao girar a região em torno do eixo . Para isso, vamos usar a fórmula dos discos, que é uma técnica básica para calcular volumes desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos trabalhando. A região é definida por:
Essa equação descreve uma elipse centrada na origem, mas como temos e , estamos olhando apenas para o quadrante positivo dessa elipse.
Para facilitar, vamos isolar na equação da elipse:
Então, a função que nos interessa é:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo . Usaremos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , e os limites de integração e são os valores de que definem a região, que vão de 0 a 2.
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de 0 a 2:
Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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