Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver seu exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de Cálculo, mais especificamente sobre volume de sólidos de rotação. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta ao girar a região
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula dos discos, que é uma técnica básica para calcular volumes desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
que estamos trabalhando. A região é definida por:
Essa equação descreve uma elipse centrada na origem, mas como temos
e
, estamos olhando apenas para o quadrante positivo dessa elipse.
Para facilitar, vamos isolar
na equação da elipse:
Então, a função que nos interessa é:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
. Usaremos a fórmula do método dos discos:
Aqui,
, e os limites de integração
e
são os valores de
que definem a região, que vão de 0 a 2.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de 0 a 2:
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.