Calcule integral0^1 t^3 raiz1-t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir . Isso vai nos ajudar a lidar com a parte da raiz quadrada na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = -2t , dt em relação a dt = -du2t :
Isso significa que pode ser expresso como:

Passo 4

Vamos substituir t^3 = t cdot t^2 = t cdot (1 - u) e integral0^1 t^3 raiz1 - t^2 , dt = integral1^0 t cdot (1 - u) cdot raizu cdot (-du2t) na integral original. Também precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Portanto:
Substituindo tudo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Observe que = 12 integral0^1 (1 - u) raizu , du no numerador e no denominador se cancelam, e os limites de integração se invertem devido ao sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão = 12 integral0^1 ( u^12 - u^32 ) , du :

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^12 , du = 23 u^32 + C
integral u^32 , du = 25 u^52 + C
Aplicando isso na nossa integral:
= 12 [ 23 u^32 - 25 u^52 ]0^1

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 1:
= 12 ( [ 23 (1)^32 - 25 (1)^52 ] - [ 23 (0)^32 - 25 (0)^52 ] )
Como qualquer número elevado a zero é 0, os termos com = 12 ( 23 - 25 ) desaparecem:

Passo 9

Vamos calcular a diferença dentro dos parênteses:
23 - 25 = 1015 - 615 = 415
Multiplicando pela = 12 cdot 415 = 215 :

Resposta

O valor da integral é .

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