Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida . Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir . Isso vai nos ajudar a lidar com a parte da raiz quadrada na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que pode ser expresso como:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Também precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Portanto:
Substituindo tudo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Observe que no numerador e no denominador se cancelam, e os limites de integração se invertem devido ao sinal negativo:

Passo 6

Agora, vamos expandir a expressão :

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 1:
Como qualquer número elevado a zero é 0, os termos com desaparecem:

Passo 9

Vamos calcular a diferença dentro dos parênteses:
Multiplicando pela :

Resposta

O valor da integral é .

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Encontre a integral de linha:
Encontre a integral de linha:
é triangulo .
Encontre a integral de linha:
.
Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.