Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida
. Esse problema está na área de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integração por substituição. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral e encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Vamos definir
. Isso vai nos ajudar a lidar com a parte da raiz quadrada na integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
pode ser expresso como:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Também precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então
. Portanto:
Substituindo tudo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Observe que
no numerador e no denominador se cancelam, e os limites de integração se invertem devido ao sinal negativo:
Passo 6
Agora, vamos expandir a expressão
:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 1:
Como qualquer número elevado a zero é 0, os termos com
desaparecem:
Passo 9
Vamos calcular a diferença dentro dos parênteses:
Multiplicando pela
:
Resposta
O valor da integral
é
.
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é triangulo
.
Encontre a integral de linha:
.
Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
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