Encontre a integral de linha:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você mandou! O enunciado pede para calcular a integral ao longo do círculo da expressão .
Aqui estamos trabalhando com integrais de linha, que envolvem integrar uma função ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenação polar, que é uma maneira legal de descrever pontos no plano usando um ângulo e uma distância do centro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo . Parametrizar significa expressar e em termos de um único parâmetro, que geralmente é o ângulo em coordenadas polares.
Então, podemos escrever:
onde varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as diferenciais e em termos de . Diferenciais são usados para expressar pequenas mudanças em e à medida que muda.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos substituir , , e na integral original. A integral fica assim:
Aqui, substituímos todos os termos em função de .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, distribuímos os termos no numerador:
Podemos notar que os termos e se cancelam:

Passo 6

Agora, observe que (essa é uma identidade trigonométrica básica). Substituindo isso na integral:
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral simples:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Encontre a integral de linha:
é triangulo .
Exprima a massa desta barra como um limite de uma soma de Riemann.
Calcule .
Encontre a integral de linha:
.