Encontre a integral de linha:
ointx^2+y^2=a^2 (x+y) d x+(y-x) d yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você mandou! O enunciado pede para calcular a integral ao longo do círculo da expressão .
Aqui estamos trabalhando com integrais de linha, que envolvem integrar uma função ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenação polar, que é uma maneira legal de descrever pontos no plano usando um ângulo e uma distância do centro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo x = a cos theta y = a sin theta . Parametrizar significa expressar e em termos de um único parâmetro, que geralmente é o ângulo em coordenadas polares.
Então, podemos escrever:
onde varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as diferenciais dx = ddtheta(a cos theta) dtheta = -a sin theta , dtheta dy = ddtheta(a sin theta) dtheta = a cos theta , dtheta e em termos de . Diferenciais são usados para expressar pequenas mudanças em e à medida que muda.
Calculando as derivadas:

Passo 4

Vamos substituir ointx^2+y^2=a^2 (x + y) dx + (y - x) dyx^2 + y^2 = integral0^2pi (a cos theta + a sin theta)(-a sin theta) + (a sin theta - a cos theta)(a cos theta)a^2 dtheta , , e na integral original. A integral fica assim:
Aqui, substituímos todos os termos em função de .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Primeiro, distribuímos os termos no numerador:
= integral0^2pi -a^2 cos theta sin theta - a^2 sin^2 theta + a^2 sin theta cos theta - a^2 cos^2 thetaa^2 dtheta
Podemos notar que os termos = integral0^2pi -a^2 sin^2 theta - a^2 cos^2 theta a^2 dtheta e se cancelam:

Passo 6

Agora, observe que = integral0^2pi -a^2 (1) a^2 dtheta = integral0^2pi -1 , dtheta (essa é uma identidade trigonométrica básica). Substituindo isso na integral:
integral0^2pi -1 , dtheta
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral simples:
integral0^2pi -1 , dtheta = -theta g|0^2pi = -(2pi - 0) = -2pi

Resposta

A integral de linha é igual a .

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